Matematičke zagonetka za genijalce

Поштени и подмитљиви политичари
На једном важном састанку окупило се стотину политичара. Сваки од њих био је склон подмићивању или, пак, поштен. Познате су две чињенице: 1) макар један од стотину политичара био је уистину поштен; 2) бирајући насумице било која два политичара, макар један од њих двојице био је подмитљив. Колико је било поштених политичара, а колико подложних примању мита?

Једна пруга, два воза, један слепи колосек
Један воз који чине локомотива и три вагона сусреће се у једној долини с другим возом с једном локомотивом и четири вагона. На сву срећу, сусрет се догодио у близини једног слепог колосека који ће, после много маневара, омогућити двема композицијама да наставе своја путовања.
Знајући да је слепи колосек веома кратак (на њега може да стане само једна локомотива или један вагон), као и да вагони не могу да се каче с предње стране локомотива, колико промена праваца мора да се изведе да би два воза наставила ка својим одредиштима?


За решење погледајте на дну ове странице





































Решење: Поштени и подмитљиви политичари
Најчешћи одговор: 50 поштених и 50 непоштених или 51 поштен и 49 подмитљивих. Оба одговора су погрешна. Ми, наиме, знамо да је макар један политичар поштен. Изаберимо га системом случајног одабира и дајмо му име Петар. Сада изаберимо још једног од преосталих 99: назваћемо га Јован. Из друге поменуте чињенице овог задатка сазнаје се да макар један од двојице, Петар или Јован - прима мито. Пошто Петар није склон подмићивању, онда то мора бити Јован. А пошто Јован по изреченом суду представља сваког од преосталих 99 политичара, сваки од њих је подмитљив.
Тачан одговор би стога гласио: један политичар је поштен, а осталих 99 нису.
Постоји још један начин да се дође до истог закључка. Тврдња да је од било које две особе макар једна подмитљива исто је што и тврдња да од било које две особе нису обе поштене. А пошто из прве чињенице следи да је у укупном броју макар једна поштена, то значи да постоји само једна (једина) поштена особа.



Решење: Једна пруга, два воза, један слепи колосек
Изгледа једноставно, али било је потребно чак 33 маневра и исто толико померања. Ево како:
1. Локомотива А иде неколико метара уназад надесно.
2. После тога локомотива А се одваја и иде на слепи колосек.
3. Локомотива Б, с три вагона, иде надесно док не прође скретницу.
4. Локомотива А враћа се на главни колосек.
5. Локомотива А качи три вагона локомотиве Б и иде лево пролазећи скретницу.
6. Локомотива Б иде на слепи колосек.
7. Локомотива А са својим вагонима иде уназад надесно.
8. Локомотива А качи и друга четири вагона и иде налево пролазећи скретницу.
9. Локомотива Б враћа се на главни колосек.
10. Локомотива Б долази до вагона и качи њих пет.
11. Локомотива Б с пет вагона иде десно пролазећи скретницу.
12. Локомотива Б гура уназад последњи вагон на слепи колосек.
13. Локомотива Б враћа друга четири вагона десно од скретнице.
14. Локомотива Б гура уназад четири вагона улево.
15. Локомотива Б враћа се сама удесно преко скретнице.
16. Локомотива Б иде уназад до слепог колосека и качи вагон који се тамо налази.
17. Локомотива Б враћа вагон на главни колосек.
18. Локомотива Б наставља уназад и улево.
19. Локомотива Б качи шест вагона и иде десно преко скретнице.
20. Локомотива Б гура уназад последњи вагон на слепи колосек.
21. Локомотива Б враћа се удесно с пет вагона.
22. Локомотива Б гура пет вагона улево.
23. Локомотива Б враћа се удесно преко скретнице са само једним вагоном.
24. Локомотива Б иде уназад према слепом колосеку.
25. Локомотива Б качи вагон који је тамо остао и враћа се удесно с два вагона.
26. Локомотива Б иде уназад и улево преко скретнице.
27. Локомотива Б качи свих седам вагона и иде удесно, преко скретнице.
28. Локомотива Б гура уназад последњи вагон на слепи колосек и откачиње га.
29. Локомотива Б враћа се удесно са шест вагона.
30. Локомотива А иде уназад и удесно.
31. Локомотива А качи своја четири вагона и одлази.
32. Локомотива Б иде уназад према слепом колосеку.
33. Локомотива Б качи трећи вагон и одлази.

Ja necu dati rjesenje a zadatak je lak

Odrediti brojeve A i B tako da zadovoljavaju uslov

A*B*AB=BBB

Ako je:
1 = 5
2 = 25
3 = 325
4 = 4325
5 =?

(xy^2)^3 ::Ako je:
1 = 5
2 = 25
3 = 325
4 = 4325
5 =?

5=1

(xy^2)^3 ::Ja necu dati rjesenje a zadatak je lak

Odrediti brojeve A i B tako da zadovoljavaju uslov

A*B*AB=BBB

BBB:B=111
111=3*37
3*7*37=(3*37)*7=111*7=777

a + b=8
ab + c + d =23
ad + bc = 28
cd = 12

Koliko je a + b + c, ako polinom P(x) = ax^2 + bx + c kod diobe s x+1 daje ostatak 11,
kod diobe s x+2 daje ostatak 17,
a kod diobe s x daje ostatak 7?

(xy^2)^3 ::
Koliko je a + b + c, ako polinom P(x) = ax^2 + bx + c kod diobe s x+1 daje ostatak 11,
kod diobe s x+2 daje ostatak 17,
a kod diobe s x daje ostatak 7?

Posmatrajmo funkcije
f(x) = x^2 + ax + c
g(x) = x^2 + bx + d


f(x)*g(x) = x^4+ax^3+bx^2+adx+bcx+cd=x^4 + (a+b)x^3 + (ab + c + d)x^2 + (ad+bc)x + cd
[Iz uslova zadatka]= x^4 + 8x^3 + 23x^2 + 28x + 12= x^4+4x^3+4x^2+4x^3+16x^2+16x+3x^2+12x+12= x^2(x^2+4x+4x)+4x(x^2+4x^2+4)+3(x^2+4x+4)=
(x + 1) (x + 2)^2 (x + 3)

Imamo dva slucaja

1. f(x)*g(x) = (x^2 + 4x + 3) (x^2 + 4x + 4)

f(x)*g(x) = (x^2 + 3x + 2) (x^2 + 5x + 6)

1.1. f(x) = x^2 + 4x + 3
g(x) = x^2 + 4x + 4
(a,b,c,d) = (4,4,3,4)

1.2. f(x) = x^2 + 4x + 4
g(x) = x^2 + 4x + 3
(a,b,c,d) = (4,4,4,3)

2.1. f(x) = x^2 + 3x + 2
g(x) = x^2 + 5x + 6
(a,b,c,d) = (3,5,2,6)
2,2. f(x) = x^2 + 5x + 6
g(x) = x^2 + 3x + 2
(a,b,c,d) = (5,3,6,2)

Nadji razlicite prirodne brojeve takve da je x^y=y^x