Fraktali & Optičke iluzije

Ned Okt 18, 2009 5:40 am

Svet oko nas i unutar nas zapravo je sastavljen
od nekog vida fraktala, a moglo bi se reći i da je metodika našeg
razmišljanja fraktalna.
Piše: Milica Tomić

Fraktali & Optičke iluzije 1539247108488ce290d9143272077821_orig

Zašto nam oblaci izgledaju tako mekani, zašto je voda providna, trava zelena,
nebo plavo, zašto je sapunica sastavljena od balončića koji su sve
sitniji i sitniji i sitniji... Rasplinjuje nam se mašta, budi se
intrigantnost, poterani smo na razmišljanje. No, zaboravimo sada na
istraživanje, a razmislimo samo o lepoti prirode. Razgledajmo malo tu
lepotu. Uzećemo list paprati. On je sastavljen iz mnoštva nekakvih
rebara. Posmatrajmo jedno rebro – ono je sastavljeno, opet, od listića
u vidu rebara, a oni opet od novih i sve manjih i manjih. To su
fraktali.

Pogledajmo sad - brokoli. Njegovo mnoštvo zelenih
cvetova sačinjeno je od mnoštva zelenih cvetova koje čini mnoštvo
zelenih cvetova i još dublje. To su fraktali u tri dimenzije. Stablo
drveta se grana na sve manje i manje grane i grančice. Naš sistem
krvnih sudova je sličan drvetu, zatim plućni sistem, pa onda izgled
DNK, sapunica, kristalisani med, listovi mnogih biljaka, slika munje,
pahuljica, leopardove šare. A šta su zapravo fraktali?

FRAKTALNA DIMENZIJA
Fraktalna dimenzija opisuje izlomljenost, to jest hrapavost objekta.
Ona se razlikuje od Euklidske dimenzije. Dok Euklidska dimenzija može
biti samo ceo broj, fraktalna dimenzija obuhvata i racionalne brojeve,
pa može biti na primer 1,26. Aluminijumska folija je ravan i ima
dimenziju 2. Ali kada je zgužvamo i od nje napravimo nešto nalik na
hrapavu i rupičastu kuglu, ulubljenu sa svih strana, ona nema dimenziju
ni 2 ni 3 nego neki broj između.

Ned Okt 18, 2009 5:41 am

Deo i celina

Fraktali & Optičke iluzije 1758479063488ce5b6f3431455758234_orig

Identična slika ove prirodne lepote ustanovljena je u matematici. Preciznu
matematičku definiciju dao je matematičar Mandelbrot u sledećem obliku
– Fraktali su skupovi tačaka čija je fraktalna dimenzija veća nego topološka dimenzija.

To su, zapravo, objekti koji, kada se uveličaju, sami sebe sadrže. Kada
pogledaš jedan njegov deo, on izgleda slično ili potpuno isto kao
početni oblik i takođe je sastavljen od istih takvih oblika sve manjih
i manjih do u beskonačnost (ili bar dok priroda ne kaže stop deljenju,
a za naše oči to je nekada prilično beskonačno).
Sav svet oko nas i unutar nas je zapravo sastavljen od nekog vida fraktala. Mogli
bismo reći čak i da je metodika našeg razmišljanja fraktalna!
Razmislite o tome.

Ned Okt 18, 2009 5:42 am

Kratka istorija

Još je antički astronom i matematičar Apolonije uvideo da unutar jedne
kružnice možemo upisati beskonačno mnogo manjih kružnica koje se
dodiruju i time uveo fraktale u matematiku. Kasnije, fraktalna
struktura pominje se u 17. veku u Lajbnicovim radovima.

Fraktali & Optičke iluzije 957004901488ce5b704f2a772261839_orig

Otac fraktala

U 19. i početkom 20. veka razni matematičari se bave crtanjem i
proučavanjem fraktalnih oblika. Tada su nastale Kohova pahuljica,
trougao Serspinskog i tepih Serspinskog, Hilbertova kriva. Tek razvojem
kompjutera ova umetnička oblast matematike mogla je da dođe do
izražaja.
Benoa Mandelbrot, kojeg smo pomenuli, smatra se
ocem fraktala. On im je osim definicije 1975. godine podario i ime –
latinski fractus znači razlomljen, slomljen, polomljen. Ovaj sjajni
matematičar rođen je 1924. u Varšavi. Danas živi u Americi, član je
više akademija nauka i penzionisani profesor na Univerzitetu Jejl.
Koliki je njegov značaj za eru u kojoj živimo govori činjenica da je
Mandelbrotov skup najpoznatija slika proizišla iz matematike našeg doba
i može se apsolutno smatrati kulturnom ikonom ovog vremena.

Ned Okt 18, 2009 5:43 am

Gde ih koristimo?

Fraktali & Optičke iluzije 1403406375488ce2917d394873045614_200x182

Električni proboj u pleksiglasu

Danas su fraktali našli iznenađujuće mnogo primena. U nauci nema oblasti gde
se ne koriste njihove funkcije za opisivanje prirodnih fenomena. Oni tu
gube svoju slikovitost i postaju puko oruđe za, na primer,
objašnjavanje funkcije dobijene eksperimentom. U fizici su se tako
uvukli gde god je bilo slobodnog mesta.

Koriste se u seizmologiji, biologiji, pa čak su i u medicini postali poželjna
alatka. Naši mobilni telefoni imaju antenu koja je u obliku fraktala i
zauzima malo mesta, ali obuhvata širok opseg frekvencija. Prisutni su i
u grafičkom dizajnu, a sve ih više ima u umetnosti.

Fantastične, nestvarne slike dobijaju se uz pomoć fraktala uglavnom
Mandelbrotovog tipa. U grafičkom dizajnu uz njihovu pomoć dobijaju se
realistični prizori iz prirode – planine, oblaci, drveće. Ima ih u
video igricama, na hipi majicama, maskirnim uniformama. Svako ko želi
može da crta ove matematičke smicalice uz pomoć programa Fractal
Explorer.

Ned Okt 18, 2009 5:44 am

Red u neredu

Fraktali & Optičke iluzije 659571428488ce291bb479221489694_200x150

Fraktal List

U svakodnevnom životu haos je nešto što smatramo neprijatnim. On
predstavlja nepredvidivo ponašanje, potpuno otrgnuto od naše kontrole.
U nauci, takođe, on se dugo izbegavao. Sistemi u kojima je učestvovalo
previše nepoznatih parametara bili su sasvim nerešivi, a ponašanje
čestica u njima izgledalo je nasumično, haotično.

Predviđanje vremenskih prilika dugo je bilo nemoguće. Nije bilo dovoljno ni
angažovati vojsku pomagača (kompjuteri) da nam reše sisteme. Jednačine
haosa su nelinearne, ekstremno osetljive na početne uslove, a uzrok i
posledica im nisu samerljivi. Tek kada je u njihovo rešavanje uvedena
fraktalna geometrija, na neki način smo uspeli da uđemo u trag
ponašanju haotičnih sistema. Uz pomoć fraktalne geometrije haos je
determinisan.

Ned Okt 18, 2009 5:53 am

Fraktale obično definišu kao geometrijske oblike,
koji mogu biti podeljeni u delove, od kojih je svaki minijaturna kopija
celine. Oni su vizuelne projekcije matematičkih formula. Fraktali danas
pripadaju digitalnoj umetnosti. Iako većina nas o fraktalima misli kao
o psihodeličnim vizijama to je samo jedan ugao sagledavanja stvari.
Fraktale proučavaju matematičari, filozofi, umetnici. Oblike fraktala
možemo naći u prirodi. U cveću, lišću, oblacima, rečnim sistemima,
korenju biljaka, galaksijama u svemiru možemo prepoznati frakatale.
Njihove oblike nosimo u krvotoku i bronhijama.

Fraktali & Optičke iluzije Milan-Dobrojevic-1

Milan Dobrojević se bavi izradom fraktala već duži niz godina. Nedavno
je imao izložbu svojih radova u klubu Likovne akademije u Beogradu.
Smatrali smo ga najboljim sagovornikom kada je reč o fraktalima i zato
smo mu postavili neka pitanja.

Ned Okt 18, 2009 5:54 am

Fraktali su spoj rigoroznih matematičkih pravila i umetnosti. Koliko znanja nam je zaista potrebno iz matematike i
filozofije da bismo razumeli fraktale? Da li bi najpotpunija definicija
fraktala bila „umetnost nastala iz matematike“?

Za start je potrebno bar osnovno poznavanje
matematike i logika za pravljenje formula koju nije teško savladati -
neke veoma kompleksne slike nastale su iz prilično jednostavnih
formula. Ipak, da bi se napredovalo na ovom polju treba dosta rada i
razumevanja kako bi se izašlo iz šablona po kome tumara 90 odsto ljudi.

Fraktali & Optičke iluzije Milan-Dobrojevic-2

Nekako i ta definicija „umetnost nastala iz matematike“ čitaoca
ostavlja sa upitnim izrazom lica i pitanjima - šta i kako? Meni su se
tehničke stvari vezane za fraktale odomaćile u mislima da kada krenem
nekome da objašnjavam to „šta i kako“ posle prve rečenice nastaje još
veća konfuzija. Tako da se nadam da će tekst koji sam sastavio za
prošlu izložbu promeniti pomenuti izraz lica:
"Fraktal je vizuelna projekcija matematičke formule. Ima svojsvo
samosličnosti* i pruža se beskonačno. Za razliku od prvih, koji su bili
opisivani ručno, danas uz pomoć računara možemo beskonačno istraživati
najsitnije detalje kreiranog fraktala i projektovati ih u željenu
dimenziju za kratko vreme.

(* Samosličnost znači da kada bismo uvećali bilo
koji sićušni detalj sa slike fraktala u njemu bismo opet videli taj
isti fraktal, sa ili bez promena na njemu – što zavisi od formule)."

Ned Okt 18, 2009 5:57 am

Jesu li fraktali nastali u nadrealizmu ili mnogo ranije?

Prva logika u vizuelnoj umetnosti koja je poput
fraktala pojavljuje se 1912. u pravcu pod nazivom orfizam. Neki od
umetnika čiji radovi su najbliži ovome su: Cheenu Pillai, Robert
Delaunay, Andrew Dasburg.

Koliko je pravljenje fraktala stvar imaginacije, a koliko stvar veštine i tehnike?

Kod fraktala je to jednako kao i kod svih
umetnosti - imati dobru osnovu u tehnici, zanatu, kao i u imaginaciji,
ali je za njih tehnika neminovna. Najbitnija je velika posvećenost
onome što se radi, tu onda tehnika i imaginacija sazrevaju i prave
osnovu za kvalitetno izražavanje.

U poslednje vreme priča se o „psihodelično-fraktalnoj muzici“? Da li ti čuješ muziku dok praviš fraktal? :)

Da, čujem muziku koju ja pustim dok ih izrađujem,
a to je obično John Coltrane. Što se tiče fraktalne muzike, postoje
programi za generisanje muzike putem fraktalnih formula i jedan od onih
koje ja koristim zove se Quasi Fractal Composer. Fraktalna muzika zapravo nije trance,
iako je haotčna (može biti i to). Za razliku od slike, fraktalna muzika
je manje prijatna. Ta muzika koju generišemo putem ovog i sličnih
programa najviše je upotrebljiva u vidu fraza i sekvenci koje mogu biti
osnova i za kompozicije u svim muzičkim pravcima.

Ned Okt 18, 2009 6:13 am

Ned Okt 18, 2009 6:13 am

Oblik sadrži energiju, onda jasno da je izvor energije kod fraktala
neograničen!! Dakle fraktali nam poklanjaju neograničeno jak izvor
energije. Putovanjem kroz fraktalne dimenzije možemo sebe dovesti izvan
granica poznatog, svakodnevnog, pri čemu ostajemo u granicama prirodne
skladnosti. Fraktali ojačavaju specifične frekfencije, prema tome
fraktalne slike možemo koristiti u nalaženju frekfencija koje
oslikavaju naše neograničeno slobodno razmišljanje i maštanje. Fraktali
nas umiruju energeetski pune, pomažu pri promeni količine svesti, oni
nas leče.

FractalArt stvara fraktalne slike, nudimo ih tržištu kao
jedinstven i specifičan poklon vašim prijateljima, poslovnim
partnerima, dragim osobama. Specifičnost fraktala je ta da ih u istoj
rezoluciji možemo sačuvati i pri velikim dimenzijama, što znači ako
imate lokal, klub, diskoteku, ili jednostavno prazan zid kojeg želite
osvežiti dizajnom, onda su fraktali za vas idealno rešenje, dobićete
fenomenalne grafike uz more energije.
UŽIVAJTE U HAOSU GEOMETRIJE!!!!!!