Matematika

"MATEMATIKA – TO JE NEŠTO, POSREDSTVOM ČEGA LJUDI UPRAVLJAJU PRIRODOM I SOBOM"
A.N. Kolmogorov

Matematika (grc. mathema nauka o veličinama) je nauka o odnosima među veličinama i prostornim formama. Matematiku karakteriše njena apstraktivnost. Iako su odnosi među veličinma uzeti iz realnog sveta matematika posmatra veličine samo u apstraktnom smislu, a oznake kvaliteta oduzima. Ona ima ogromnu ulogu u razvitku nauke, tehnike i privrede. Omogućava apstraktni način mišljenja, čime se stiču veće mogućnosti i jači smisao za rešavanje praktičnih problema.

Matematika je jedna od najstarijih nauka. Mada ne postoji tačna hronologija, ipak se može reći da su se počeci matematičke misli javili pre 40-50 vekova i to kod Haldejaca, Egipćana, Vavilonaca i Indijaca. Uz njenu pomoć napravljene su stare egipatske piramide. U staroj Grčkoj metematika se razvila kao prava nauka, jer je umesto praktičnog počela da razvija teorijski deo matematike, a jedan od najpoznatijih naučnika tog doba bio je Arhimed. Pored njega najveći matematičari su bili: Tales, Eudoks, Njutn, Lajbnic, Euklid, Apolonije, Heron, Hiparh, Diofant, Kardano, Ferari, Vijet, Dekart, L’Opital, Ojler, Tejlor, Laplas, Gaus i mnogi drugi. Matemetika je omogućila sva najveća dostignuća savremene civilizacije: od računara i erkondišna do leta na mesec i u kosmos.

Podela matematike. U toku svoje dugačke istorije matematika se stalno razvijala i dopunjavala, tako da danas postoji mnogo matematičkih disciplina. Matematika se može podeliti na aritmetiku, algebru, analizu, teoriju verovatnoće, matematičku statistiku i geometriju, iz kojih se razvio niz posebnih oblasti : linearna algebra, teorija grupe i drugi algebarskih struktura, teorija brojeva, diferencijalni i integralni račun, teorija funkcija realne promenjive, teorija funkcija kompleksne promenjive, numerički metodi, matrični račun, račun vektora, račun tenzora, teorija operatora, funkcionalna analiza, sintetična i analitična geometrija, diferencijalna geometrija, teorija skupova, topologija, matematička logika i zasnivanje matematike, teorija informacija, kibernetika, matematičke mašine itd.

Aritmetika. Pod ovim pojmom obično se podrazumeva nastavni predmet čiji je zadatak da učenike upozna sa pozitivnim celim i razlomljenim brojevima, i nauči ih osnovnim računskim radnjama (sabiranju, oduzimanju, množenju i deljenju) sa tim brojevima. U stvari, aritmetika je nauka o brojevima i operacijama sa njima.

Algebra se bavi opštim svojstvima brojnih sistema i metodima rešavanja zadataka pomoću jednačina, pri čemu se imaju u vidu brojevi (posebni i opšti, celi i razlomljeni, pozitivni i negativni, racionalni i iracionalni, realni i kompleksni), ili simboli koji predstavljaju apstraktne matematičke predmete (vektori, tenzori, matrice, operatori itd.). Deli se na elementarnu i višu algebru. Elementarna algebra zasniva se na aritmetici i uvod je za upotrebu slova kao predstave opštih brojeva. Njen aparat sadrži u skrivenom obliku mogućnost široke upotrebe, svuda gde su u pitanju operacije slične sabiranju ili množenju. U vektorskoj algebri te operacije se izvode primenom vektora, u algebri tenzora (veoma važnoj za savremenu fiziku) upotrebom tenzora, a u algebri matrica upotrebom matrica. Iz algebre matrica razvila se algebra operatora, čije se operacije izvode primenom operatora i koja danas ima značajnu ulogu u tehnici i fizici. Viša algebra bavi se strukturom tipova matematičkih sistema. Konstrukcija nekih od tih sistema uslovila je pojavu posebnih viših algebri, kao što su algebra polinoma, linearna algebra, Lijeva (Lie) algebra, neasocijativna algebra, topoloska algebra itd. ili matematičkih teorija kao sto su teorija invarijanata, teorija grupe itd.

Matematička ili infinitezimalna analiza zasniva se na pojmu funkcije i ideji računanja infinitezimalnih (beskonačno malih) veličina. Ona se uglavnom deli na diferencijalni i integralni račun, diferencijalne jednačine i varijacioni račun.

Teorija verovatnoće proučava zakonitosti slučajnih pojava. Zasniva se na pojmovima slučajnog događaja i njegove verovatnoće kao mere (veličine) koja kvantitativno karakteriše stepen mogućnosti da se neki događaj ostvari. [iroko se primenjuje u raznim oblastima nauke i tehnike, u kojima se proučavaju slučajne pojave i procesi.

Matematicka statistika ima za predmet metode obrade i tumačenja statističkih podataka i njihovu primenu u rešavanju određenih teorijskih i praktičnih problema. Usko je povezana sa teorijom verovatnoće.

Geometrija je prvobitno nauka o prostornim odnosima i oblicima realnog sveta, a kasnije i o drugim odnosima i oblicima koji se po svojoj strukturi svode na prostorne. Pod klasičnom geometrijom podrazumeva se elementarna geometrija (planimetrija i sterometrija) poznata od najstarijih vremena. Njeni elementi su kasnije dopunjeni anharmoticnim odnosima, homografskom podelom i transformacijama koje dozvoljavaju izučavanje zajedničkih osobina dveju odgovarajućih figura. Izvesni odnosi između strana pravouglog trougla dali su geometrijske funkcije sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans i cosecans ugla i tako uslovili trigonometriju. Predmet analitičke geometrije je uspostavljanje odnosa između tačaka u ravni ili prostoru na osnovu dva (x,y) ili tri (x,y,z) broja nazvana njihovim koordinatama. Deskriptivna (nacrtna) geometrija bavi se predstavljanjem i proučavanjem prostornih figura pomoću njihovih projekcija u ravni. Postoje jos projektivna geometrija koja se zasniva na pojmu prave linije, diferencijalna geometrija koja proučava osobine krivih linija i površina u okolini tačke i topologija koja počiva na proučavanju kvalitativnih osobina figura. Pod uticajem razvoja algebre i teorije invarijanata razvila se algebarska geometrija. Moderna geometrija proširila je trodimenzioni prostor na pojam hiperprostora, tj. prostora od n dimenzija, sto je uslovilo pojavu višedimenzionalne geometrije.

Često se spominje antička legenda o delskom problemu koji zahteva da
se udvostruči obim kocke. Filijapon nam pripoveda kako su Atinjani 432.
godine prie našeg računanja vremena, dok je njihovim gradom harala kuga,
pitali Platona, Sokratovog učenika, šta da rade. Filozof im je savetovao
da se obrate Apolonovom proročištu na otoku Delosu i bog im je, putem
svojih sveštenika, poručio da udvostruče veličinu zlatnog oltara u
njegovom hramu i kuga će prestati. Oni to nisu znali učiniti, a tada im
je Platon, koji nije bio samo filozof već najveći matematičar svog doba,
rekao da su kažnjeni za svoj svesni nemar prema uzvišenoj nauci o
geometriji te im iskazao svoju sućutsto među njima nema nikoga ko bi
mogao rešiti taj problem.
Delski problem,u kojem je reč o udvostručavanju kocke, tako se često
zamenjuje s problemom Platonovih kocaka da pisci koji ne znaju mnogo o
matematici jednostavno misle da je reč o istom problemu. Problem
Platonovih kocaka se ponekad spominje i kao Platonovi geometrijski brojevi
i pritom se obično kaže da se o pravim uslovima tog problema zna vrlo
malo ili čak i ništa.
Ipak, činjenica je da postoji problem koji antički autori zovu
Platonove kocke ili Platonovi geometrijski brojevi, a poznato je da je
matematika osnovni princip Platonove filozofije. Veliki filozof je čak
davao dizati spomenike u čast uzvišenih matematičkih istina, kako ih je
on nazivao.
Jedan od tih spomenika opisuju kao golemu kocku podignutu usred
popločanog trga i nije potrebno mnogo mašte da se taj spomenik poveže
sa spomenutim problemom geometrijskih brojeva. U tom problemu je sve tako
logično i u skladu sa povješću da nema razloga sumnjati u njegovo
drevno podrijetlo.
Naša slika prikazuje Platona kako gleda u mramorni spomenik sagraćen
od stanovitog broja manjih kocaka. Spomenik leži u sredini kvadratnog
trga popločanog mramornim kockama. Pod trga sastoji se od jednakog broja
kocaka kao i spomenik i sve su kocke potpuno istih dimenzija.
Vaš je zadatak izračunati koliko je kocaka mramora bilo potrebno da
se sagradi kocka i popločani trg na kojem ona stoji. Time ćete ujedno
rešiti i slavni problem Platonovih geometrijskih brojeva.
REŠENJE:
Kockasti je spomenik sagrađen od 9 x 9 x 9, to jest od 729 kocaka,
isti broj kocaka sadrži pod trga dimenzija 27 x 27. Rešavanje problema
očigledno se svodi na rešavanje jednačine x³ = y³
. Rešenje x = 4, y = 8 ne dolazi u obzir jer crtež, koji je vrlo važan
deo zadatka, jasno pokazuje da su rub stranice kocke i rub trga u većem
omjeru od 1:2. Moguća su kao rešenja i svi višekratnici brojeva 9 i 27,
no to ne menja bit zadatka već samo komplicira posao graditeljima
spomenika
120205

Majmun na konopcu
Postoji zanimljiv problem iz mehanike za koji kažu da je, uprkos svojoj
prividnoj jednostavnosti, zadao mnogo glavobolje Lewisu Carrollu. Nije poznato
je li autor "Alise u zemlji čuda", koji je na Oxford-u bio profesor
matematike, autor tog problema, ali je u stanju ljutitosti svojim studentima
zadao ovaj ispitni problem:
"Ako se na konopac prebačen preko točka pričvrsti teg od deset funti
koji je tačno toliko težak koliko i majmun koji se njiše s druge strane
konopca i jede jabuku (sve to vidimo na crtežu), šta će se dogoditi ako se
majmun pokuša popeti po konopcu?"
"Vrlo je zanimljivo" rekao je Lewis Karrol, "kako se i dobri
matematičari razlikuju u mišljenju o tom problemu. Price kaže da se teg diže
sve većom brzinom. Clifton i Harcourt tvrde da se teg diže istom brzinom kao i
majmun dok Sampson kaže da se teg spušta".
Neki istaknuti inženjer mašinstva kaže "Rezultat će biti isti kao da
po konopcu ide muva", dok jedan fizičar tvrdi da će se teg dizati ili
spuštati obrnuto proporcionalno brzini kojom majmun jede jabuku iz koje valja
izvući izvući drugi koren majmunovog repa. Ozbiljno govoreći, problem nije
lak i, kako je princip zagonetke s majmunom postao problem o kojem se mnogo
raspravlja, a i vredan je tog razmatranja, donosimo ga s namerom da pokažemo
usku vezu između zagonetaka i problema iz mehanike. Uostalom, dobro je poznato
da proučavanje zagonetaka bilo koje vrste daje rešavaocu jasan uvid u zakone
mehanike i principe mehanike i principe filozofije prirode.
U teoriji, taj problem izgleda jednako paradoksalan kao i šaljiva pitalica
koja se nedavno pojavila : Šta će ići uz dimnjak nadole ili niz dimnjak
nadole ali neće ići uz dimnjak nagore ni niz dimnjak nagore (kišobran).
Rešenje:
Postoje tri moguće posledice između kojih treba izabrati: 1) penjanje
majmuna nema delovanja na ravnotežu, 2) ono može biti uzrok da se teg spušta
što bi dizalo majmuna brže nego što to on želi, ili 3) može biti uzrok da
se teg diže što bi moglo dovesti do toga da se majmun u stvari spušta. S
teoretskog i znanstvenog stanovištva ovaj je problem jednako paradoksalan kao i
pitalica o kišobranu: ako se majmun penje, on će se spuštati a ako se spušta
on će se penjati. Ta se tvrdnja osniva na Njutnovom zakonu po kojem je svaka
"akcija jednaka reakciji". Teoretski, da nema trenja muva ne bi mogla
puzati uz konopac a da ne naruši ravnotežu i konopac bi se kretao preko točka
a kraj na kojem je majmun, padao bi sve brže.

ŠKRTICA

Neki škrtac skupio je stanovite količine zlatnika nominalne vrednosti od pet, deset i dvadeset dolara. On je te zlatnike čuvao u pet vrećica od kojih je svaka imala istu količinu svake vrste zlatnika. Dok bi se kasno noću naslađivao svojim blagom, škrtac bi zlatnike podelio u četiri hrpe koje su međusobno bile potpuno jednake.Zatim bi, da se uveri kako su svi zlatnici na broju, uzeo dve hrpe i od zlatnika načinio tri hrpe koje su opet imale jednak broj i istovrednih zlatnika.
Na taj način mogao je lako ustanoviti nedostaje li koji zlatnik ali je isto tako mogao vrlo jednostavno odrediti ukupnu vrednost svog blaga. Recite, koliko je zlatnikla pojedine vrste imao stari škrtac u vreme kad je umro od gladi?

REŠENJE
Iz problema se vidi da je stari škrtac imao stanovite količine zlatnika od po pet, deset i dvadeset dolara od kojih se svaka mogla podeliti sa četiri, pet i šest.Na taj je način morao imati najmanje po 60 novčića svake vrednosti, što ukupno čini 21000 dolara.

ISAK NJUTN (
Isaac Newton ,1642-1727)
Njutn je nizom svojih dela postigao genijalna ostvarenja u
matematici, mehanici, astronomiji i optici, koja predstavljaju revolucionarni
preokret u razvitku sveukupne nauke i filozofije, kako u idejnom tako i u
metodološkom pogledu. Ona se, posmatrana u kontinuitetu evolucije naučne
spoznaje fenomena prirode, oslanjaju na dostignuća velikih stvaralaca pre
Njutna. To je i sam Njutn istakao, napisavši: "Ako sam video dalje od
drugih to je zato sto sam stajao na plećima giganata". Među tim
gigantima posebno mesto zauzima Arhimed svojim intuitivnim i
logičkim
otkrivanjem matematičkih istina i njihovih primena. U Vestminsteru, panteonu
velikih ljudi Engleske, na nadgrobnom Njutnovom spomeniku, piše: "Radujte
se, smrtnici, sto je postojao takav i toliki ponos ljudskog roda".
Oblikom koncizne metafore, ove reči ukazuju na jedinstven primer nenadmašne
veličine ljudskog intelekta, sposobnog da prodre, kakav je bio Njutnov, u
lavirinte svemira i otkrije zakone pojava sa kojima se svemir manifestuje pred
ljudskim čulima i ljudskim umom uopšte. One izrazavaju optimističku pouzdanost
u moć čovekovog spoznavanja sveta, a upravo je Njutnovo delo, sa svim njegovim
posledicama, jedan od najblistavijih primera te moći u sveukupnom razvitku
nauke i filozofije. Njutn je rođen 1642. u selu Volstorpu, grofovije Linkoln,
u porodici skromnog farmera. Rano je ispoljio izvanrednu darovitost za
prirodne i matematičke nauke. Istakao se na studijima u Triniti koledžu u
Kembridžu, prostudiravši temeljito dela antičkih matematičara, posebno Euklida
i Arhimeda, zatim [ Dekarta niza
matematičara XVII veka. Uporedo se posvetio
astronomskim posmatranjima, fizičkim i hemijskim eksperimentima, u čemu su
došle do izraza njegove genijalne sposobnosti kao eksperimentatora i teoretičara.
Pošto je postigao veoma velike uspehe u matematičkim i fizičkim
naukama, preuzeo je katedru matematike na Univerzitetu u Kembridžu, gde je
nasledio svog profesora Isaka Baroua. Postao je član Kraljevskog naučnog društva u Londonu, a zatim njegov
višegodisnji predsednik, kao i član više
evropskih akademija nauka. Bio je veoma angažovan u društveno-političkim i
ekonomskim zbivanjima Engleske, kao poslanik Kembridžskog univerziteta u
engleskom parlamentu i kao direktor kovnice novca u Londonu, učestvujuci vrlo
aktivno u tadašnjoj monetarnoj reformi. Genijalno plodotvoran u nauci, a društveno
energično angažovan, umro je, u osamdeset petoj godini života, 31.
marta 1727. Glavno delo Isaka Njutna je Matematicki principi prirodne
filozofije (principia mathematica philosophiae naturalis). Objavljeno je
prvi put na latinskom jeziku 1687. U njemu je, u tri knjige, izložio rezultate
svojih mehaničko-astronomskih istraživanja. U prvoj knjizi definiše niz veoma
važnih pojmova mehanike, pa zatim izlaže mehaniku kao nauku o kretanju, strogo
deduktivno, polazeći od tri dobro poznata osnovna stava ili aksiome kretanja.
Prema prvoj aksiomi svako telo nastoji da zadrži stanje mirovanja ili
jednolikog pravolinijskog kretanja, dok ga neka sila ne prinudi da to svoje
stanje promeni; prema drugoj, promena kretanja proporcionalna je sili i vrši
se u smeru u kojem sila deluje, a prema trećoj, sila akcije jednaka je sili
reakcije i suprotnog su smera. Posebno je istakao pojmove prostora i vremena,
razlikujući apsolutno vreme od relativnog, apsolutni prostor od relativnog,
kao i apsolutno kretanje od relativnog kretanja. Ti pojmovi u tesnoj
povezanosti sa spomenutim aksiomama kretanja suštinski odlikuju Njutnovu
konstrukciju mehanike, što će se naročito manifestovati pojavom relativističke
i kvantne mehanike. Ruđer Bošković je u duhu relativizma zauzimao
kritički
stav prema Njutnovim koncepcijama apsolutnog vremena, prostora i kretanja, i
na taj način bio je blizak savremenim relativističkim koncepcijama prema tim
pojmovima. Njutn se zatim bavi analizom, u duhu potpune matematičke strogosti,
kretanjima materijalnih tačaka, na koje deluju središnje sile. To je najvažniji
slučaj tzv. Njutnove gravitacije, tj. kada se dve
materijalne tačke uzajamno privlače silom koja je direktno proporcionalna
proizvodu njihovih masa, a obrnuto proporcionalna kvadratu njihovih rastojanja.
U tom je slučaju konusni presek (npr. elipsa, parabola), dokazuje Njutn,
putanja koju opiše tačka manje mase, privučena ka onoj veće mase. Mehaniku
fluida izložio je u drugoj knjizi. U njoj proučava kretanja tela kojima se
opire sredina u kojoj se tela kreću. Najvažniji rezultat, sa gledišta naučnog
i opštefilozofskog, s obzirom da su se tada u svim naučnim i filozofskim
sredinama Evrope vodile ostre rasprave o Dekartovoj prirodnoj filozofiji,
dokaz je da Dekartova hipoteza vrtloga, zasnovana na filozofskim spekulacijama,
ne može objasniti kretanje planeta. U trećoj knjizi, koja je pretežno
astronomskog karaktera, Njutn dokazuje da se kretanje planeta u Suncevom
sistemu potpuno uklapaju u tip kretanja, koja je ispitao u prvoj knjizi, kad
se tela uzajamno privlace silom direktno proporcionalnom proizvodu njihovih
masa, a obrnuto proporcionalnom kvadratu njihovih rastojanja. Tako je dosao do
epohalnih zakljucaka da se kretanja nebeskih tela i tela koja, na primer,
slobodno padaju na Zemlju, vrse na osnovu jedinstvenog zakona, tzv. Zakona
opste gravitacije Njutn je, da se metaforicno izrazimo, otkrio cudesnu
lepotu i jednostavnost reda u vasioni, dosao je do otkrica koja ce vecno
blistati kao pobeda ljudskog uma i kao dokaz racionalnosti prirode. Njegova
mehanika, zasnovana na zakonu opste gravitacije, otkrila je jedinstvo "nebeskih"
i "zemaljskih" fenomena i time je odlucno uticala na razvitak ne
samo nauke nego i filozofije uopste. "Astronomski prostori", istakao
je veliki sovjetski fizicar Vavilov, "bili su gigantski Njutnov
laboratorij, a matematicke metode njegov genijalni instrument". Zakonom
opste gravitacije objasnjeni su, izmedju ostalog, i veoma slozeni fenomeni
plime i oseke, a ubrzo zatim i mnogi drugi fenomeni, koje prouzrokuju kretanja
nebeskih tela, sto je pokazao razvitak nebeske mehanike i teorijske
astronomije posle Njutna. Rezultati nebeske mehanike zablistace tokom XIX veka,
narocito 1846. otkricem osme planete Neptun, posto su joj Leverije i Adams
prethodno matematicki tacno odredili putanju i polozaj, na osnovu opazenih
smetnji u kretanju sedme planete Urana. Na slican nacin, putem matematickog
modeliranja, otkrivena je 1929. i deveta planeta Pluton. Njutnova istrazivanja
u matematici bila su u osnovi motivisana primenama matematike u istrazivanjima
fenomena prirode, posebno fenomena kretanja nebeskih i zemaljskih tela. No
treba odmah podvuci da se on bavio i nizom vaznih problema cisto teorijske
matematike, tako da je bio daleko od toga da zanemari "cistu"
matematiku i da je shvata kao neku vrstu "sluskinje" prakse i
primene, bez sopstvenih ciljeva, metoda i ideja. Opovrgavajuci Dekartovu
teoriju vrtloga kao kvalitativnu shemu, zasnovanu samo na filozofskim
spekulacijama Njutn je "primenjenoj" matematici u tom opovrgavanju
dodelio visoku ulogu bas sa teorijskog stanovista. U nizu svojih dela,
objavljenih na latinskom jeziku, u vec spomenutom glavnom delu, u O analizi
jednacina beskonacnih brojem clanova, u Metodi fluksija i beskonacnih
redova, u Raspravi o kvadraturi krivih, u Univerzalnoj
aritmetici i u drugim, Njutn je razvio matematicki aparat kojim se
posluzio u svojim proucavanjima fenomena prirode. On na jednom mestu kaze:
"Ne posmatram matematicke velicine kao da su obrazovane od delova, ma
kako da su mali ti delovi, nego kao da su opisane neprekidnim kretanjem.
Linije su opisane i nastale, ne stavljanjem delova jednog pored drugog, vec
neprekidnim kretanjem tacke; povrsi neprekidnim kretanjem linije; tela
neprekidnim kretanjem povrsi; uglovi rotacijom krakova; vreme neprekidnim
tokom. Smatrajuci, dakle, da su velicine koje rastu u jednakim vremenima vece
ili manje, prema tome da li rastu vecom ili manjom brzinom, trazio sam metodu
da odredim velicine prema brzinama kretanja ili rascenja koje ih proizvode,
nazivajuci fluksijama brzine ovih kretanja ili rascenja, dok nastale
velicine fluentama. Tako sam naisao na metodu fluksija, koju
sam upotrebio u kvadraturi krivih. "Njutn je geometriju, a zatim
infinitezimalnu (beskonacnu) analizu, u sustini smatrao delovima opste
mehanike, uzimajuci kretanje u njegovoj najapstraktnijoj formi. Zato pojmove
geometrije i analize formulise terminima mehanike, cvrsto se oslanjajuci na intuiciju
prostora i vremena. Terminima mehanike on formulise dva osnovna problema
na koja se mogu svesti svi zadaci analize, a naime: 1."Ako je dat opisani
put u prostoru, naci brzinu kretanja"; 2."Ako je data brzina
kretanja, naci opisani put u prostoru". Ovom redukcijom sve se
matematicke velicine razmatraju slicno putu, da nastaju u procesu neprekidnog
rasta ili opadanja. One su fluente (latinski fluere = teci), tj. tekuce
velicine, a njihov univerzalni argument je vreme, koje se ovde ne razume kao
takvo u bukvalnom smislu reci, vec kao ma koja velicina, ciji ravnomerni tok
izrazava i meri dato vreme. Fluente ne figurisu prosto kao funkcije
vremena, vec u svojim uzajamnim odnosima sa fluksijama, kao brzinama
svog menjanja. Pri tom su jasno istaknuta ova dva glavna problema analize u
terminima metode fluksija, koji glase: 1. "Prema datoj relaciji medju
fluentama, odrediti relaciju medju fluksijama". To je zadatak
diferenciranja funkcija nekoliko promenljivih, koje zavise od vremena. 2.
"Prema datoj jednacini koja sadrzi fluksije, naci relaciju medju
fluentama". To je zadatak integriranja diferencijalne jednacine. Da bi
sto strozije i preciznije zasnovao infinitezimalne procese i njihove primene,
Njutn je razradio opstu teoriju granicnih prelaza, kao teoriju prvih i poslednjih
razmera. Uveo je termin "granica" (limes), koju shvata kao
"poslednju razmeru velicina koje iscezavaju", ili kao "prvu
razmeru velicina koje nastaju". Na toj ideji granice zasniva se Njutnova fluksija.
U Njutnovoj infinitezimalnoj analizi vazan je pojam momenta, kao
trenutne promene fluente, i to dekrement, kao negativan moment i inkrement,
kao pozitivan moment. Pojam diferencijala najbolje odgovara Njutnovom
pojmu momenta. Veoma su znacajna njegova razlaganja funkcija u stepene redove,
kao i njegovo iniciranje teorije diferencijalnih jednacina. Diferencijalni i
integralni racun Njutn je najpotpunije izlozio u svom delu Metoda fluksija
i beskonacnih redova. On je tu veoma jasno iskazao glavna pravila
diferenciranja i integriranja; dao je pojmove prvog, drugog, treceg i viseg
reda izvoda; video je tacnu vezu koja postoji izmedju diferenciranja i
integriranja, tj. izvoda i integrala; shvatio je da, dok je fluksija potpuno
odredjena kad je data fluenta, dotle je fluenta iz fluksije odredjena do
proizvoljne konstante; uocio je vaznost diferencijalnih jednacina, ukazujuci
na nacin resavanja nekih tipova i dao je brojne primere za to iz geometrije i
mehanike; uocio je vaznost izlaganja funkcije u stepene redove. Njegovo delo Univerzalna
aritmetika sadrzi istrazivanja o brojevima i jednacinama. Jasno se pravi
razlika izmedju negativnih i pozitivnih brojeva; dato je pravilo o znacima;
pravi se razlika izmedju celog, racionalnog i iracionalnog broja; raspravlja
se pitanje resenja jednacine; govori se o imaginarnim resenjima kao "nemogucim";
delo sadrzi mnoge stavove koji se odnose na teoriju algebarskih jednacina. Na
temelju postignutih ostvarenja u infinitezimalnom racunu, svojih velikih,
daljih i blizih, prethodnika, kao i Dekartove koordinatne metode, Njutn je
vlastitim putem, u isto vreme kad i Lajbnic, ali nezavisno od njega, svojim
genijalnim ostvarenjima u infinitezimalnoj analizi, svojim diferencijalnim i
integralnim racunom, odnosno racunom fluksija i fluenata, zakljucio
dugovekovni proces razvitka infinitezimalnog racuna i revolucionarno otvorio
novu etapu u njegovom razvitku, kako u pogledu njegove teorije, tako jos vise
u pogledu njegovih primena u istrazivanjima prirode, koje su neobicno potekle
u periodu XVIII i XIX veka. Za potvrdu velicine i besmrtnosti Njutnova genija
dovoljna su njegova ostvarenja u matematici, koja ubedljivo pokazuju da je
proucavanje prirode nepresusan izvor matematickih nadahnuca. Svoja opticka
istrazivanja, eksperimentalno i teorijski jednako genijalno zasnovana, Njutn
je objavio u svom drugom velikom delu Optika, koje je prvi put izaslo
1704. Vavilov, vrsni poznavalac Njutnove optike, ocenio je npr. Njutnovu
teoriju svetlosti i boja recima: "Prvi put je svetu pokazano to sto
eksperimentalna fizika moze izvrsiti i kakva ona mora biti. Njutn je prisilio
eksperiment da govori, da odgovara na pitanja i daje odgovore iz kojih sledi
teorija". Njutnova proucavanja pojava loma i refrakcije svetlosti,
prevashodno eksperimentalna, tesno su povezana sa njegovim astronomskim
istrazivanjima, kad je rec o izradi astronomskih optickih instrumenata. Jedna
od fundamentalnih rezultata u njegovom proucavanju svetlosnih fenomena bilo je
saznanje proisteklo iz egzaktne analize Sunceve svetlosti, da je bela Sunceva
svetlost slozena, odn. tacno objasnjenje spektra boja Sunceve svetlosti i u
vezi sa tim tacno objasnjenje niza prirodnih fenomena, npr. duge, koji su
vekovima mucili glave mnogih mislilaca i istrazivaca.

ARHIMED





Arhimed ( Sirakuza 287-212 pr. n. e.)


Arhimed ( grč. Άρχιμήδης
– Arhimedes),je najveći matematičar
i fizičar Starog veka.

Tačnije od svih
dotadašnjih matematičara odredio je broj
pi(π),opseg i površinu
kruga,površinu odsečka parabole,obim
kugle,površinu elipse itd.Pri tom se služio metodama kojima se danas
služimo u diferencijalnom i integralnom računu,tako
da se Arhimed može smatrati tvorcem integralnog računa.

Našao je način za
pisanje vrlo velikih brojeva.Pokazao kako se matematika može primeniti na
mehaniku ,otkrio zakone poluge,uzgona (tzv. Arhimedov zakon),određivanje
težišta,izumeo vijak,unapredio statiku.

Nauke je završio u Aleksandriji,ondašnjem kulturnom
centru sveta,pod pokroviteljstvom Euklida,a kasnije delovao u Sirakuzi.Napisao
je veliki broj dela iz matematike,fizike i tehnike,od kojih je malo sačuvano.Inače
,njegov otac po imenu Fidios,bio je astronom i najverovatnije rođak
Hierona II,kralja Sirakuze.

Njegova najpoznatija dela su: O
kugli i valjku;O konoidima i sferoidima;O merenju kruga;O ravnoteži ravnih
likova;O plivanju tela.Veoma je
značajan njegov zaključak:"Volumeni
stošca,kugle i valjka jednakih polumera i
visina odnose se kao 1:2:3".

Bio je prvi,koji je shvatio da je problem kvadrature kruga
pitanje aproksimacije, i time se znatno približio osnovnoj ideji
infinitezimalnog računa.S tim u vezi
istakao se postupkom (opisivanjem i upisivanjem pravilnih mnogouglova u
kružnicu),kojim određuje broj π kao broj
veći od 3 10/70,a manji od 3 1/7.

Delom O ravnoteži ravnih likova
osnovao je statiku,a delom O plivanju
tela hidrostatiku.U delu O hidrostatici
obrađuje zakon plivanja,zakon uzgona i
stabilnosti tela,koje pliva(poznati problem o
sastavu krune kralja Sirakuze izmerivši
pomoću
vage specifičnu
težinu krune i čistog
zlata)

.Istakao se kao plodan pronalazač:izumeo
je veliki broj ratnih i drugih mašina,od kojih su najpoznatije:Arhimedov
koloturnik,vijak za dizanje tečnosti i
vijak bez kraja.Legenda,po kojoj je sunčanim
zracima zapalio rimski brod,nema temelja.

Poginuo je od mača
rimskog vojnika u rodnom gradu Sirakuzi,koja je dve godine odolevala
Rimljanima zahvaljujući spravama i
mašinama,koje je Arhimed sastavio od poznatih jednostavnih alata.

Kada je Sirakuzu nakon dve godine zauzeo Marcellus,rimski
vojskovođa,dao je nalog da se zaštiti Arhimed,ali
ga rimski vojnik nije prepoznao i ubio ga 212 godine.

Prema Liviju,prilikom zauzeća
Sirakuze,Arhimed je mirno crtao geometrijske slike i doviknuo rimskom
vojniku,koji je na njega nasrnuo:»Noli turbare
circulos meos« ; »Nemoj kvariti moje
krugove «.

Prema njegov želji podignut je na njegovom grobu
spomenik,na kojem su dva geometrijska tela:valjak i kugla.

Jedinstveni zaključak
koji se može izvući o radu delu
Arhimeda,je da zahvaljujući Arhimedu i
njegovim naučnim otkrićima
i dostignućima,matematika i mehanika
dostižu svoju kulminacionu tačku u to
doba.Generalno gledano on je najveći
matematičar i naučnik
antičkog doba i jedan od tri najveća
matematičara svih vremena zajedno sa
Isakom Njutnom i Karl Fridrih Gausom.

Arhimedov zakon:»Hëureka!-Pogodio
sam!Pronašao sam!«-uzviknuo je Arhimed kada je,sedeći
u kupatilu,otkrio fizički zakon da svako
telo,potopljeno u tečnost,gubi od svoje
težine onoliko kolika je težina njime istisnute tečnosti(
ili gasa ).Taj gubitak je u stvari potisak tečnosti
ili gasa.

Arhimedov vijak, je cev svinuta kao zavoji
vijka.Služi za dizanje vode.Kod okretanja diže se voda u toj cevi od njenog
donjeg kraja i curi kroz otvor najgornjeg zavoja.





Arhimedova spirala, je transcendentna
krivulja.Ona nastaje,kad tačka,polazeći
iz odredišta,jednoliko obilazi odredište i jednoliko se udaljuje od
njega.Udaljenost svake tačke Arhimedove
spirale od odredišta proporcionalna je sa uglom zaokreta.

EUKLID

Anticki grcki matematicar iz treceg stoleca pre n.e. Prema tradiciji,
Euklid je predavao u Aleksandriji za vlade Ptolemeja I, ali
nista pouzdano o njegovom zivotu nije poznato. Moglo bi se postaviti pitanje
da li se iza njegovog imena ne krije odredjena matematicka skola. Njegovo
glavno delo predstavlja kodeks grcke matematike koji ce najpre koristiti
Apolonije iz Perge (oko 262. pre n.e. – oko 180. pre n.e.) i Arhimed.
Elementi su podeljeni u
trinaest knjiga; cetiri prve posvecene su geometriji u ravni i bave se
proucavanjem poligonalnih ili kruznih figura. Tu je najpre definicija tacke,
“ono sto nema delova”; zatim linije – “duzina bez sirine”; povrsi
– “ima samo duzinu i sirinu”; prava linija je “jednako postavljena
izmedju tacaka” i ravan je “jednako postavljena izmedju svojih pravih”.

Posle ovih definicija koje danas deluju kao nepotpune, tu su i pitanja
ili postulati od kojih najcuveniji Euklidov postulat: Ako jedna prava koja
sece druge dve gradi unutrasnje uglove sa iste strane manje nego dva prava,
ove prave, produzene u beskonacnost, susresce se na onoj strani gde su uglovi
manji od ugla dvaju pravih. Posle postulata slede zajednicki pojmovi i
aksiome, takvi kao sto je: velicine jednake u jednoj istoj velicini medjusobno
su jednake i celina je veca od dela.

Prva knjiga, u kojoj su nejednakosti izmedju elemenata jednog trougla,
tri slucaja jednakosti, povrsina paralelograma i trougla, zavrsava se tzv. Pitagorinom
teoremom i njenom reciprocnom teoremom. Prvi stav koji sadrzi odnosi se
na konstrukciju ravnostranog trougla.

Druga knjiga proucava povrsinu pravougaonika i ustanovljuje da: kvadrat
strane jednog trougla predstavlja zbir kvadrata druge dve uvecan ili umanjen
dvostrukim pravougaonikom konstruisanim nad jednom stranom i ortogonalnom
projekcijom druge nad ovom stranom.

Treca knjiga proucava krug i moc jedne tacke u odnosu na krug; cetvrta
knjiga je posvecena pravilnim poligonima: ravnostranom trouglu, kvadratu,
petougaoniku, sestougaoniku, osmougaoniku, desetougaoniku; peta knjiga Elemenata
sadrzi sve prve pojmove analize; sesta knjiga raspravlja o slicnosti figura i
daje resenje jednacine drugog stepena na geometrijski nacin; sedma, osma i
deveta knjiga proucavaju teoriju brojeva, a deseta knjiga “iracionalne
velicine”. Sledece knjige se odnose na geometriju u prostoru. Dvanaesta
knjiga (koju je sastavio Eudoks, 406 – 355 pre n.e.) bavi se zapreminom
piramide, konusa, cilindra, sfere. Poslednja trinaesta knjiga proucava pet
pravilnih konveksnih poliedara.

Ovim knjigama kasnije se cesto dodaju cetrnaesta knjiga (njen pisac je
Hipsikle, II v. pre n.e.) i petnaesta, vizantijska knjiga i obe se odnose na
pravilne poliedre.

Euklidovo delo obuhvata i raspravu geometrije u ravni pod nazivom Data,
izlozeno vise analiticki no sto je ucinjeno u Elementima. Ostala je jedna i arapska verzija o

Podeli
figura, a Papus
Aleksandrijski (III v.) daje analizu Porizama,
dela gde se nalazi vise slozenih zadataka iz projektivne geometrije. Papus
naznacuje takodje i Mesta na povrsima
i cetiri knjige o konusnim presecima.

Pored dela koja se odnose na apstraktnu matematiku, sacuvano je
astronomsko delo Fenomeni,
zatim Optika i jedna rasprava
o muzici, Deoba kanona. Pod
Euklidovim imenom do nas su stigli apokrifi, tzv. Katoptrika.

DEKART RENE ( René Descartes )

Francuski matematičar i
filozof (1596-1650).

Treće dete u porodici i
bolešljiv od rođenja,u desetoj godini ulazi u kraljevski koledž, gde
nastavu drže jezuiti.Iako je cenio darovitost i blagonaklonost svojih
profesora, Dekart će strogo suditi o programu studija, o moralu proučavanom
u književnosti i vrlini propovedanoj bez pružanja primera, o filozofiji
svesno okrenutoj ka teologiji i njoj potpuno potčinjenoj. Jedino za
matematiku ima ''milosti'' , mada je ona usmerena ka praktičnim primenama i
služi vojnim veštinama, veoma značajnim plemićkim sinovima. Tako se Dekart
želeo, da ''ništa uzvišeno nije izgrađeno''. Po izlasku iz koledža,
upotpunjuje svoje obrazovanje učeći igre, jahanje, mačevanje. U mladom
plemiću boriće se neko vreme filozofija i radost življenja, budući da je
po tradiciji bio predodređen za službu kralju. U Parizu se okreće
intelektualnoj sredini i upoznaje Midorža (Claude Midorge, 1585-1647), prvog
matematičara Francuske. Oko 1615-1616 oslobađa se starih prijatelja da bi
studirao matematiku. Po naređenju kneza Morisa od Nasaua, 1617 angažuje se u
Holandiji. Lutajući ulicama Brede, primetio je gomilu ljudi okupljenu ispred
jednog oglasa, napisanog na holandskom jeziku: bio je to matematički problem,
iznet pred javnost. Dekartu ga prevodi njegov budući prijatelj Bekman (Isaac
Beeckman, 1588-1639), upravitelj koledža iz Dordrehta i on ga sa uspehom
rešava. Dekart putuje u Dansku, Nemačku; u Bavarskoj se angažuje u trupama
Maksimilijana Bavarskog; u toku zime 1619 kratko boravi u Ulmu, gde upoznaje
matematičara Folhabera (Jean Faulhaber, 1580-1635). Odlučuje da ostavi vojnu
službu 1621, ali već 1628 učestvuje u opsadi tvrđave La Rošel, u službi
kardinala Rišeljea. Marta 1629 Dekart želi ''da se zauvek povuče… i
obezbedi sebi savršenu samoću u zemlji umerene klime u kojoj nije poznat'':
tako odlazi u Holandiju, gde će ostati više od dvadeset godina, čuvajući
ljubomorno svoju samoću, često menjajući prebivalište, vodeći život
plemića. Najpre se bavi fizikom i radi na Metafizičkim razmišljanjima.
U leto 1633 završio je delo Svet ili Rasprava o svetlosti;
međutim, saznavši da su inkvizitori Svetog oficija osudili Galileja zbog
njegovog učenja o kretanju Zemlje, a kako je ovu tezu i sam uveo u svoju
fiziku, Dekart je odustao da je objavi. Da bi objasnio svoju doktrinu, ali i
ispitao reakciju vlasti, objavljuje 1637. Raspravu o metodu (za dobro
rasuđivanje i traženje istine putem nauka) i tri male rasprave:
Dioptrika, Meteori i Geometrija. Ipak, rektor univerziteta u
Uterehtu, dotadašnjeg žarišta kartezijanske misli, Vecijus (Gisbertus
Voetius, 1589-1676) optužiće 1642. Dekarta za ateizam. Dekart beži iz
Amsterdama, izbegavajući Utreht i ponovo se nastanjuje u Lajdenu. Godine 1641
objavljuje deset godina pripreman rukopis, Razmišljnja o prvoj filozofiji,
gde izlaže potpun sistem kartenzijanske matafizike. Na intervenciju Princa
Oranskog, francuskog ambasadora i njegovog prijatelja Hajgensa (Constantijn
Huygens, 1596-1653) zaustavlja se proces suda u Utrehtu.Dekarta napada veoma
uticajan jezuita Francuske Burden (o. Pierre Bourdin, 1595-1653) te on tako
upoznaje i neumoljivu crkvenu opoziciju. Zamisao da oko svoje, kartezijanske
filozofije sakupi čitav naučni svet i svoju fiziku, kao univerzalnu materiju
ustanovi kao nastavu u školama, nije mogao da ostvari. Posle dužeg oklevanja,
Dekart je rešio da prihvati poziv švedske kraljice Kristine: u Stokholm je
stigao oktobra 1649. Stroga i autoritarna, kraljica određuje Dekartu takvo
radno vreme koje remeti sve njegove navike: svakog jutra morao je da bude u
pet sati na dvoru. U toj hladnoj zemlji, dobio je pneumoniju i, odbijajući
pomoć švedskih lekara, posle devet dana umro. Dekartov poluironičan,
delimično pejoravitan stav u odnosu na filozofe i duboko poštovanje u odnosu
na crkvene dostojanstvenike i teologe, dovoljno je objasniti njegovom
prevashodnom brigom za što je moguće većim sopstvenim mirom. Ovakvo
dvostruko držanje nesumljivo je u vezi sa kartezijanskom koncepcijom
filozofije, ili pre misijom filozofa. Kao što je rečeno, želeo je da
kartezijanska filozofija, budući istinita, postane osnova obrazovanja pri
čemu vera ne sme biti izostavljena. Zalagao se za pojednostavljenu veru koja
bi se sastojala iz skupa samo onih potrebnih i dovoljnih verskih istina da bi
se obezbedio spas. Dopušta i kartezijansku sholastičku teologiju smatrajući
potrebnim obrazovanje i u istinskoj teologiji i u istinskoj filozofiji. U delu
Pravila za upravljanje duhom pokušava da otkrije metod za zasnivanje
univerzalne nauke: ''Ono što podrazumevam pod metodom, to su izvesna i laka
pravila koja nam, ako ih ispravno promatramo, pružaju sigurnost da grešku
nikad nećemo uzeti kao istinu, ne trošeći pri tom beskorisno snagu svoga
duha a uvećavajući svoje znanje stalnim napredovanjem ka dosezanju za
spoznajom svega onog za šta smo kadri''( pravilo IV). U etimološkom
smislu, metod je put što dozvoljava da se dostigne cilj, a da se ne
poistoveti s njim. Na intelektualnom, umstvenom nivou, metod se razlikuje od
cilja (spoznaje) i instrumenata (saznanje sposobnosti i njihove operacije).
Definicija četvrtog pravila je, dakle, u saglasnosti sa razlikom
između ova dva instrumenta saznanja, kao što su intuicija i dedukacija.

Dekart poistovećuje intuiciju
sa prirodnim prosvećenjem koje je prisutno u svakom od nas, dok je dedukacija
''sve ono što se neophodno i izvesno zaključuje o nekim drugim poznatim
stvarima. Dedukacija se razlikuje od intelektualne intuicije u tome što
zahteva neku ''vrstu kretanja ili poretka''. Za spoznaju stvari nude nam se
dva puta, iskustvo i dedukacija. Iskustvo na koje se Dekart poziva je u
konkretnom i globalnom smislu. Kad sam u toku saznavanja, ono što se
odražava u mojoj svesti prizilazi u isto vreme iz spoljašnje stvarnosti i iz
mog gledanja na to. Iskustva su često varljiva zbog svoje strukture. Pred
objektivnim i subjektivnim komponentama ne mogu da odlučim šta pripada
spoljnoj stvarnosti a što potiče iz moje akcije. Prosto izviđenje
zaključaka iz opštih razmišljanja – dedukcija nikad ne vara. Valjanost
dedukcije jamči njena jednostavnost. Pošto greške nikad ne mogu da
proizađu iz dedukcija (ako je prihvatam, dedukcija je neizostavno dobra; ako
ne znam za nju, tada i nema praktične vrednosti) već samo iz loše
shvaćenog iskustva ili iz prebrzih sudova, upravo se aritmetika i geometrija
nameću kao oblik naučnosti. S jedne strane, njihov predmet je čist i
jednostavan, s druge, tu se samo izvode posledice prema racionalnoj dedukciji.
Ako se ne radi samo o aritmetičkom i geometrijskom proučavanju…''oni koji
traže pravi put istine'' treba da se zanimaju predmetima gde mogu dostići
izvesnost jednaku onoj u aritmetici i geometriji.Dekart nastoji da izdvoji
uslove aritmetičkih i geometrijskih mogućnosti i izlaže ''univerzalnu
matematiku'', nauku poredka i mere. Ova nauka sadrži ''prve rudimente
ljudskog razuma''i čini da ''izviru istine iz bilo kojeg problema''. Ona je
izvor svih drugih spoznaja. Kartezijanski red zamenjuje kvalifikaciju pojma
ili stvari u okviru Aristotelovih kretanja kojima se služila sholastika.
Matematička inspiracija, zasnovana je zavisnosti ideja u toku dedukcije.
Ideje su raspoređene prema linearnim nizovima. Uzmimo iz bilo kog niza dve
ideje: od dve ideje, ona što predhodi drugoj nazvana je apsolutnom ili
jednostavnom, druga je označna kao relativna ili složena. Otud je pojam
apsolutnog i sam relativan. Od apsolutno prostog potoje samo proste prirode,
tj. ideje koje ne zavise ni od koje druge, premda sve druge proizlaze iz njih.
Pojam apsolutnog ovde ne sadrže nikakvu metafizičku aluziju ali treba da se
shvati u perspektivi neke vrste ''genealogije saznanja'' gde saznanje-majka
postoji pored saznanja-ćerke. Kartizijanska kritika još uvek se razvija samo
na naučnom nivou: jedinstvo nauka je zasnovano na identitetu ljudskog duha.
Univerzalna matematika nije podređena redukciji materije na puki homogen
kvalitet i ne zasniva se na monističkoj ontologiji. Valjanost nauke postavlja
neraskidive veze između života i misli. Cogito ergo sum (Mislim,
dakle postojim) se javlja kao vrhunski stav čovekovog poimanja samog sebe i
svog postojanja: ova izvesnost se ograničava na samu sebe, ali u toj
izvesnosti o sopstvenom ja je i ideja o postojanju savršenog bića ili Boga.
Dekartovsku teologiju ne treba posmatrati kao cilj po sebi, Bog je uveden samo
zato da bi se proširila izvesnost misli i postojanje spoljašnjeg sveta. Bog
je Dobro i mi možemo biti sigurni da se ne varamo kad nešto tvrdimo na
osnovu jasnog i sigurnog uvida. Tako matematičar može biti siguran u
zaključke koje je doneo samo ako je vodio računa da mu predstava o svakom
beočugu misli bude jasna. Jedna razgovetna predstava o spoljašnjem svetu
jeste predstava o protegnutosti ili prostornost, predstava koja
je predmet geometrije. Dekartov stav da se prostornost i materija
identični predstavlja osnovi njegove fizike. Dekartovi savremenici iz
kartezijanstva su prihvatili učenje po kome su strasti, naročito ljubav,
liše samo onda kad izmaknu kontroli razuma, na čemu se temelji uverenje o
čovekovoj slobodi u odnosu na strasti. Kartezijanska logika je još dublje
obeležila francusku misao, ističući potrebu za jasnoćom i jedinstvom,
strogošću i merom.

Dekart kao matematičar

Dekart je osnivač analiričke
geometrije: u svom, veoma originalnom delu Geometrija daje najpre
geometrijsko značenje za četiri elementarne aritmetičke operacije i
vađenje kvadratnog korena. Ustanovljenje da je euklidska geometrija zasnovana
na aritmetičkoj strukturi, na strukturi realnih brojeva. Njegov jezik zaista
nema one preciznosti koje mi danas koristimo, ali je on, malo-pomalo doprineo
stvaranju oblasti koja će se oko godine 1800 nazvati analitičkom
geometrijom. Pomoću svojih novih metoda mogao je da razmotri jedan
problem Papusa Aleksandriskog (III v.) koji mu je predložio matematičar i
orjentalista Golijus (Jacobson Golius ili Gool, 1596-1667): ''Neka su date dve
grupe po n pravih, naći mesto takvih tačaka u ravni da je proizvod
njihovih rastojanja od pravih prve grupe u datom odnostu sa proizvodom
njihovih rastojanja od pravih druge grupe''. Ako ima ukupno četiri prave,
mesto je konusni presek. Za više od četiri prave stare metode bile su
nemoćne. Dekart rešava problem algebarskim slovnim računom, gde usvaja
najbolje oznake svog vremena, usavršava ih i sistematizuje. Ovaj način
pisanja Dekart je uspeo da nametne naučnom svetu i on se u suštini i danas
koristi. S druge strane, Dekart pozajmljuje od Apolonija iz Perge (kraj III i
početak II v.pre n.e.) reper referencije koji obrazuju početna tačka, osa
apscisa koja izlazi iz ove tačke i jedan stalni pravac za ordinate. Dve
koordinatne ose, nazvane ''kartezijanske'', potiču iz ovog postupka. Papusov
problem dovodi tako da se traženo mesto izrazi algebarskom relacijom između
koordinata svake tačke. P (x,y) = 0, gde je P polinom. Dekart je
odlučio da nazove geometrijskom krivom (sada algebarska kriva) svaku krivu
koja u odnosu na katezijanski reper daje mesto jednačini ovakvog tipa. On
inače izjednačava ''geomerijske'' krive sa onima što se mogu povući
pomoću ''šestara'' sastavljenog od dva vezana štapića. Tačnost ove
hipoteze ustanovio je tek 1876. engleski matematičar Kemp (Alfred Bray Kempe,
1849-1922). Samo ''geometrijske'' krive Dekart je primio u svoju geometriju.
Ostale krive nazvane su mehaničke, a od Lajbnica transcendentne. U ovu vrstu
Dekart svrstava Arhimedovu (287-212. pre.n.e) spiralu, Dinostratovu (IV
v.pre n.e.) kvadratisu, logaritamsku krivu koju je, kao jedan od prvih
shvatio oko 1618, logaritamsku spiralu i cikloidu Robervala
(Gilles Personier de Roberval, 1602-1675).

On postavlja tangente na
geometrijske krive dosta naučnom metodom za koju se inspirisao optičkim
problemima ali koju je uskoro zamenio Dekartov takmac Ferma. U svojoj prepisci
Dekart daje konstrukciju tangente na cikloidi korišćenjem trenutnog centra
rotacije, što je jedno od njegovih otkrića. Dekartova Geomerija sadrži
jednu valjanu teoriju rešenja algebarskih jednačina, gde postavlja sledeći
pristup: ''Broj korena jednak je stepenu jednačine''. Neki od ovih korena
mogu biti ''imaginarni''. Među realnim, neki su lažni (negativni). Broj
pozitivnih korena jednak je broju varijacija znakova koeficijenata. Knjiga se
završava grafičkom konstrukcijom korena nekih jednačina pomoću preseka
krivih. Ovo je jedino Dekartovo delo posvećeno čistoj matematici. Drugi
prilozi u ovom domenu nalaze se u njegovoj prepisci. U teoriji brojeva
inferioran je u odnosu na Fermau ali daje dokaze velike umešnosti. U analizi
zna koliko i napredni savremenici, da integriše monome i nalazi kvadraturu
raspona cikloide, nezavisno od Robervala i Ferma. Dao je rešenje problema (koji
je postavio njegov prijatelj): ''Naći krivu kad se zna izvesna osobina
tangenata''. Ovaj problem spada u integralni račun i vodi ka logaritamskoj
krivoj. Dokazi Dekartovog predznanja sadržani su i u sledećoj njegovoj
tvrdnji: ''Izvesne veličine su obuhvaćene u jednačinama i izražavaju se
nekim znacima; jednačina koja ih sadrži jedan je način da ih izrazi. Ali,
ima beskonačno mnogo drugih koje ne mogu biti obuhvaćene u jednačinama i
ima ih koje ne mogu biti izražene (radikalima) izvan jednačine''. On
razlikuje i algebarske brojeve od transcedetalnih i uviđa nemogućnost
rešenja radikalima većeg dela algebarskih jednačina.Kao matematičar,
Dekart je za života uticao samo na holandske matematičare ali je njegov
uticaj kasnije bio osetan kod Lajbnica i Njutna.

BOŠKOVIĆ RUĐER

BOŠKOVIĆ Ruđer Josip (1711-1787), matematičar, astronom, fizičar,
geodet, inženjer, filozof i pesnik, pripadnik reda isusovaca, rodom
Dubrovčanin. U istoriju nauke ušao je uglavnom kao fizičar, astronom i
filozof a bio je i atomist i relativist. Spada među najistaknutije naučnike
sveta svoga vremena. Bio je profesor univerziteta, diplomata, osnivač i
direktor Brerske astronomske opservatorije kod Milana, direktor Optičkog
instituta francuske mornarice (1774-83).
Živeo je i radio u Rimu, Milanu, Parizu i Londonu, i dosta putovao. Dao je
dva geometrijska metoda za određivanje elemenata Sunčeve rotacije iz
posmatranja položaja triju tela, zatim osnovne diferencijalne obrasce sferne
trigonometrije. Samostalno je izveo Simsonov izraz za astronomsku refrakciju,
u računu izravnjanja je primenio princip minimuma zbira odstupanja umesto
minimuma zbira kvadrata, koji će nešto kasnije uvesti Ležandr i Gaus. Dao
je metod dizanja infinituma na bilo koji stepen, izračunao dimenzije i
spljoštenost Zemlje prema merenjima podnevačkih stepeni. Prvi je izložio
misao da skretanja viska mogu imati sistematski karakter, i da na to pre
utiču prostrano kopno ili mora nego brda. Takođe dao je geometrijski metod
određivanja putanja kometa, a prvi je i rešio problem okaca u saću. Dao je
jedinstven zakon sile, pretpostavio je da postoji ne samo privlačenje (Njutnov
zakon) nego i odbijanje u naizmeničnom menjanju na malim rastojanjima među
telima. Elementarnu česticu smatrao je bez dimenzija i izvorom sile, a vreme
i prostor relativnima nasuprot Njutnu, pa je sa pravom preteča Ajnštajna.
Od 1735. objavio je ogroman broj rasprava iz matematike, optike, fizike i
astronomije na latinskom, italijanskom i francuskom. Poglede na fizičke
pojave i strukturu materije izložio je u najglavnijem delu Theoria
philosophiae naturalis redacta ad unicam legem virium in natura existentium
(1758). A ostala dela su mu: Opera pertinentia ad opticam et astronomiam,
tomi I-V (Bassano), Elementorum universae matheseos,
tomi tres, i druga.

ABEL NILS HENRIH

( Niels Henrih Abel )

Norveški matematičar (1802-1829).

Sin i unuk sveštenika. Abel je drugo dete brojne porodice
u kojoj su sva deca obrazovanje primila od oca; medjutim, 1815. Nils i njegov
stariji brat odlaze na skolovanje u Kristijaniju (danas Oslo). Njihov profesor
matematike (B. M. Holomboe, 1795-1850) ubrzo otkriva Nilsonov talenat, postaje
njegov prijatelj I kasnije I prvi izdavac Abelovih celokupnih dela (1839).
Posle oceve smrti Abel je prepusten sebi, buduci da ga majka nije mogla pomoci.
Od 1820. zivi od stipendija, privatnih casova matematike I pozajmice. Na
univerzitet u Kristijaniji stupa 1821. a 1822. stice diplomu iz filozofije.
Njegova prva izdanja potiču iz 1823, a 1824. stampa na francuskom kratko delo
Rasprava o algebarskim jednacinama u kojoj se
dokazuje nemogucnost opsteg resenja jednacine petog stepena.
Zahvaljujući dvogodisnjoj stipendiji, Abel pocinje da putuje I, mada boravi u
Getingenu, ne posecuje Gausa; u Berlinu upoznaje Krela (A. L. Crelle,
1780-1855) pokretaca glasovitog ,,Casopisa za opstu I primenjenu matematiku‘‘
u kome pocinje da saradjuje. Zatim putuje u Prag, Bec, Italiju I Pariz, u kome
ostaje deset meseci I gde je, u Akademiji nauka, prikazana njegova velika
rasprava o integralima 1826 (objavljena 1841). Po povratku u Norvesku Abel
postaje docent ali ne prekida naucni rad, sve do kraja zivota, iako je tesko
oboleo od tuberkuloze. Najznacajniji Abelov rad je u algebri I teoriji
funkcija. Njegova rasprava iz 1824, stampana u Krelovom ,, casopisu”, izlaze
nemogucnost resenja u radikalima opste jednacine petog stepena. Istrazujuci
odlike jednacina podesitih za takvo resenje, Abel 1828. odkriva tzv. Abelove
jednacine cija je grupa komutativna ili Abelova.
Proucavao je I konvergentne redove I dosao do binomne formule za iracionalnim
eksponentom. Inspirisan radovima Le Zandra (Adrien Marije Le Gendre,
1752-1833.), o eliptičkim integralima, dolazi do dva otkrica: u prvom koristi
domen komplesnih brojeva i zanima se inverznim funkcijama integrala (danasnjim
eliptickim funkcijama) kojim utvrdjuje dvostruku periodičnost. U raspravi
izlozenoj u Parizu, proucava integrale nazvane ,,Abelovim” za koje utvrdjuje
znacajnu teoremu sabiranja. Inverzne funkcije ovim itegralima Jakobi će
docnije nazvati Abelovim funkcijama.

BERNULI, braća DANIJEL, ŽAK i ŽAN
( Bernoulli, Daniel, Jacques, Jean )

Danijel Bernuli (Daniel Bernoulli 1700-1782)

Započeo je da studira medicinu ali već 1732, kao član akademije nauka Sant-Petresburga, dobio je nagradu akademije za proučavanje problema dva tela, što predstavlja prvo analitičko tumačenje Njutnove teorije. Počev od 1733, u Bayelu drži nastavu iz astronomije, botanike, fizike i filozofije. Nasuprot stricu i ocu, Žaku i Žanu Bernuliju, ubeđeni je Njutnovac. Njegovo delo Hidrodinamika (1738) obuhvata hidrostatiku i hidrauliku, zasnovanu na principu održanja kinetičke energije. U ovom delu su počeci kinetičke teorije gasova koja će u idućem stoleću odigrati značajnu ulogu, kao i tzv. Bernulijeva teorema koja se odnosi na očuvanje mehaničke energije u toku savršeno nestišljivog fluida. U proučavanje vibrirajućih žica, koje je izazvalo mnoge rasprave između D’Alambera, Ojlera i Lagranža, Bernuli uvodi kružne funkcije. Njegovi stavovi dovode do trigonometrijskih ili Furijeovih redova koji su doveli do napretka u analizi a Kantora do teorije skupova. U anatomiji duguje mu se proučavanje respiratorne mehanike i princip tačnog proračuna srčanog rada a zabelezeni su i njegovi elektrostatički eksperimenti.

Žak Bernuli (Jacqes Bernoulli 1665-1705)

Kao student teologije zanima se za matematiku i uči je sam. Posle šest godina putovanja po Fracuskoj, Holandiji, Engleskoj, dobija 1687 katedru matematike na univerzitetu u Bazelu. Upoznavši nove matematičke tokove čitajući Dekarta otkriva infinitezimalne metode u delima Valisa i Baroua. Kad je Lajbnic 1684 u časopisu "Acta Eruditoru" objavio svoju prvu raspravu o infinitezimalnom računu, Bernuli je odmah shvatio značaj ovih oznaka, prihvatio Lajbnicova gledišta i postao njegov odani pristalica. Za ime Žaka Bernulija vezuje se izraz integral, zatim jedna kriva, Bernulijeva lemniskata; njgovi radovi o ovoj krivoj izvor su proučavanja eliptičkih funkcija koje će u XIX veku odigrati značajnu ulogu. Bernulija zanima i druga kriva, logaritamska spirala. Njemu pripada zasnivanje računa varijacija koji će kasnije sistematizovati Ojler i Lagranž. U diferencijalnom računu ostale su Bernulijeve jednačine a u proučavanju brojeva Bernulijevi brojevi. U računu verovatnoće otkrio je 1689 zakon velikih brojeva ili Bernulijevu teoremu. Delo Ars coniectandi objavljeno 1713, osam godina posle njegove smrti, rezimira njegova proučavanja u ovoj oblasti.

Žan Bernuli (Jean Bernoulli 1667-1748)

Autor je priručnika Analiza beskonačno malih (1696). L’Opital i Hajgens pomagali su ga i omogućili mu da postane profesor univerziteta u Groningenu, a zatim i u Bazelu. Bio je Ojlerov profesor. Njegove naučne rasprave,koje se odnose na veći broj matematičkih problema, ostaju u istoriji nauke. Kao i njegov brat Žak, ni Žan Bernuli nije prihvatao Njutnove ideje, ostavši veran filozofiji i kartezijanstvu; ipak istoriji nauke doprineo je pre svega kao najčuveniji mehaničar XVIII veka, koji je primetio opštost i značaj principa virtuelnih brzina.

BERNULIJEVA JEDNAČINA je jednačina koja izražava kvantitativni odnos između različitih pritisaka u unutrašnjosti idealne neviskozne i nestišljive tečnosti. Jednačina glasi: ½rv'+rgh+p=const., pri čemu je r gustina tečnosti, v brzina strujanja, g ubrzanje Zemljine teže, h visina neke tačke u tečnosti iznad neke nepokretne ravni uzete kao nulta visina, p pritisak. To znači da na svakom preseku cevi strujanja u stacionarnim uslovima zbir svih pritisaka ostaje konstantan. Član ½rv’ predstavlja kinetičku energiju jedinične zapremine tečnostii naziva se dinamički pritisak. Drugi član rgh predstavlja potencijalnu energiju jedinične zapremine tečnosti. Kada na tečnost deluje samo sila Zemljine teže taj član predstavlja pritisak na nekoj visini h. Treći član je unutrašnji, odnosno, hidrostatički pritisak u tečnosti.

BERNULIJEVA NEJEDNAKOST se dobija iz binarne formule
(1+a) n > 1+na ako je a veće od 0 i n prirodan broj veći od 1.
Ekvivalentan oblik je b >1+n (b-1), gde je b>1 a n prirodni broj veći od 1.

ČEBIŠEV PAFNUTIJ LJVOVIČ


Ruski matematičar. Rođen je 1821. u Okatovu, Kalužanska oblast, umro je u Petrogradu 1894. Imao je mogućnosti da do stupanja na univerzitet vaspitanje dobije u roditeljskoj kući. Na matematičko odeljenje Univerziteta u Moskvi stupio je 1837.Tu je slušao predavanja iz teorijske i primenjene matematike i astronomije, kao i iz fizike. Kao student istakao se radom o izučavanju korena jednačine, za koji je dobio srebrnu medalju. Univerzitetske studije završio je kao odličan kandidat 1841. Magistarsku disertaciju Pokušaj elementarne analize teorije verovatnoće (Opit elementarnogo analiza teorii verojatnostei) odbranio je 1845, a pravo predavanja na Univerzitetu u Petrogradu dobio je 1847, na osnovu disertacije O inteligenciji pomoću logaritama (Ob integrirovanii pomoću logarifmov). Tu su ga naročito prihvatili profesori Viktor Jakovljevič Bunjanovski (1804-1889) i Josif Ivanovič Somov (1815-1876). Stepen doktora matematike i astronomije postigao je 1849. pošto je odbranio disertaciju Terija izravnavanja (Teria sravnenii). Bio je profesor Univerziteta u Petrogradu i član Akademije nauka u Petrogradu i član Akademije nauka u Petrogradu, počasni član skoro svih Univerziteta u Rusiji, niza ruskih i inostranih naučnih društava, a zatim član Akademija nauka u Berlinu,Parizu, Londonskog kraljevskog društva, Italijanske kraljevske akademije i Švedske akademije nauka. Slavni francuski matematičar Ermit pisao je Čebiševu,povodom njegovog izbora za člana Francuske akademije nauka da je »ponos nauke u Rusiji i jedan od prvih geometara Evrope, kao i jedan od najvećih geometara svih vremena« i da je njegov izbor potpuno zaslužen »za njegova prekrasna otkrića u aritmetici i za njegove važne radove u teoriji interpolacije« . Naučna slava Čebiševa se širila njegovim mnogobrojnim radovima, kao i sve većim krugom njegovih učenika koji su produživali i razvijali njegovu delatnost i dalje uzdizali matematičku školu Univerziteta u Petrogradu.
Čebišev je na Univerzitetu u petrogradu predavao integralni račun,diferencijalne jednačine,višu algebru,teoriju brojeva,teoriju verovatnoće, teoriju eliptičkih funkcija, analitičku geometriju, sfernu trigonometriju, praktičnu mehaniku i druge razdele matematike. Njegovi kursevi nisu obimom bili veliki, ali su bili dostupni po pojmovima i bogati sadržajem. Bio je izvanredni predavač u naučnom i pedagoškom smislu. Predavačku istraživanjem i sa organizacijskim radom. Veliki je njegov značaj za razvitak ruske nauke i tehnike, obrazovanja i prosvete. Odigrao je veoma veliku ulogu u uspostavljanju i razvitku Moskovskog matematičkog društva. Aktivno je učestvovao u radu ruskih prirodnjaka, na čijim je sastancima pokazivao mehanizme koje je otkrio, kao i računsku mašinu sa neprekidnim kretanjem. Stalno je upoznavao inostrane naučne krugove sa dostignućima ruske mehanike i matematike. Čebišev i njegovi učenici razvili su interesovanje za konkretne naučne zadatke, koji imaju važan praktičan značaj, i koje treba rešiti putem konstrukcije algoritama. Zahvaljujući naučnom radu Čebiševa i njegovih učenika, obraćanje praksi kao izvoru teorijskih istraživanja, karakteristična je crta matematičke skole u Petrogradu. Tesna povezanost teorije i prakse u stvaralaštvu Čebiševa u razradi teorije najboljeg približnog izračunavanja funkcija, teorije verovatnoće, teorije interpolacije, kao i u njegovim istraživanjima praktičnog karaktera. Sabrana dela Čebiševa izdala je Akademija nauka u Petrogradu, u vremenu od 1899. Do 1907, dok je Akademija nauka Sovjetskog Saveza objavila njegova dela u pet tomova: Teorija brojeva (prvi tom); Analiza (drugi i treći tom); Teorija mehanizma (četvrti tom); Drugi radovi i materijali istorijskog i biografskog karaktera (peti tom).
Teorija brojeva predstavlja značajan pravac naučnih istraživanja Čebiševa i važan je činilac u stvaranju njegove matematičke škole. Profesor Bunjakovski ukazao je Čebiševu na Ojlerove radove koji se odnose na teoriju brojeva. S obzirom na tu teoriju vrlo je važno Čebiševljevo delo Teorija izravnjavanja, kao i njegova rasprava O određivanju broja prostih brojeva koji ne prelaze datu veličinu ( Ob opredelnii čisla prostih čisel, ne prevoshodajših danoi veličini, 1848) koja mu je donela svetsku slavu. Mnogi istaknuti matematičari bavili su se pitanjem broja prostih brojeva koji ne prelaze dati broj, ali je tek Čebiševu pošlo za rukom da dobije bitne rezultate u tom pogledu. U spomenutoj raspravi dokazao je pet teorema, bitnih u za pitanja kojima se bavi u raspravi. Dao je još neke rasprave značajne za teoriju brojeva i teoriju redova. Probleme koje tretira povezani su sa radom Euklida, Ojlera, ležandra, Liuvija, Dirihlea, Rimana, Dedekinda, Bertrana, Ermita i Minkovskog. Čebiševljeva istraživanja u teoriji brojeva dopunjena su radovima njegovih učenika. Ona ga prikazuju kao velikog i suptilnog matematičara.
U analizi su značajni njegovi naučni radovi koji se tiču integracije funkcija, teorije interpolacije i njene veze sa drugim pitanjima, kao i istraživanja u teoriji najboljeg približnog izračunavanja funkcija. U tim oblastima dao je niz veoma značajnih radova, objavljenih u Rusiji i van Rusije, na koje se pozivaju istaknuti matematičari. Istraživanja algebarskih funkcija u konačnom obliku i graničnih vrednosti integrala zauzimaju posebno mesto u radovima Čebiševa posvećenih integraciji funkcija. Njegovi radovi o graničnim veličinama integrala zasnovali su novu metodu istraživanja u matematici, metodu momenta, značajnu za teoriju verovatnoće. U teoriji najbiljeg približnog izračunavanja funkcija postavio je osnovne zadatke i dao je metode njihovih rešenja. Tim metodama rešio je mnoge konkretne zadatke iz te oblasti. Pokazao je razne primene ove teorije kako u samoj matematici, tako i u praktičnim zadacima. Njegove ideje, metode i dobijeni rezultati odigrali su važnu ulogu u daljem razvitku teorije najboljeg približnog izračunavanja funkcija. Iz te oblasti, pored brojnih drugih radova, podvlačimo njegov rad Teorija mehanizma, poznatih pod nazivom paralelograma ( Teorija mehanizmov, izvesstnih pod nazvaniem paralelogramov, 1853). Čebiševljevi radovi iz teorije interpolacije predstavljaju važan doprinos toj oblasti, vezan sa primenama. Oni su od većeg teorijskog značaja, jer su u njima položene osnove opšte teorije specijalnih polinoma. Mnogi Čebiševljevi rezultati iz teorije interpolacije našli su praktične primene u balistici i u drugim oblastima praktičnih znanja, naročito matematičkoj statistici, što se ogleda u radovima međunarodne matematike. Brojni su radovi Čebiševa iz teorije interpolacije. Oni ilustruju Čebiševljevu stalnu težnju da matematička istraživanja budu usmerena ka primenama.
U teoriji verovatnoće Čebišev je postigao vrlo velike rezultate. U svojoj spomenutoj magistarskoj disertaciji osvetlio je osnovni teorijski položaj teorije verovatnoće i označio njene važne primene. Njegova znamenita rasprava O srednjim veličinama (O srednih velečenah, 1866) sadrži njegovu klasičnu formulaciju zakona velikih brojeva. Iz tog se zakona kao specijalni slučajevijavljaju zakoni velikih brojeva Bernulija i Poasona (Poisson). Jedna njegova teorema istakla je posebnu ulogu normalnog zakona verovatnoća u teoriji grešaka i u drugim praktičnim pitanjima teorije verovatnoće, vezanim sa primenama u artiljeriji, tehnici i prirodnim naukama. Imala je važan značaj kako u teorijskim tako i u praktičnim odnosima. Uopšte uzev, kako ukazuje Kolmogorov, Čebišev je doveo teoriju verovatnoće u Rusiji na prvo mesto u svetu, jer je prvi sa potpunom upornošću istakao potrebu apsolutne strogosti dokaza graničnih teorema i što je svuda težio dobiti tačne ocene odstupanja od graničnih zakonomernosti. Prvi je jasno ocenio i koristio pojam slučajne veličine i njene matematičke nade, potčinivši ih pogodnom i gipkom algoritmu. Značajna je njegova metoda momenta, a sveukupni njegovi rezultati u teoriji verovatnoće predstavljaju viši stepen u njenom razvitku.

U naučnom i stručnom radu Čebiševa je pored teorijskih pitanja praktičnog karaktera, veoma zanimala teorija mehanizma i mašina. Tu je dao brojne radove, veoma poznate u Rusiji i van nje. U konstrukciji mehanizma i mašina koristio je svoje matematicke radove koji su bili okrenuti praktičnim pitanjima. Zadaci teorije mehanizma, koje je postavljao i rešavao Čebišev, karakterišu ga kao krupnog naučnika u oblasti praktične mehanike. Čebiševljeva istraživanja u teoriji mehanizma sadrže velike rezultate koji se odnose na opšta pitanja konstrukcije mehanizma u ravni, kao i na njihovu strukturu i kinematiku. Treba posebno istaći da je njegov poznati aritmometar kao računska mašina. Čebiševljevo stvaralaštvo u oblasti teorije mehanizma je originalno, vrlo poznato u svetskoj nauci. Ono je zasnovalo nauku o mehanizmima u SSSR-u. Posebno treba podvući da se bavio primenama matematike u astronomiji i da je o tome objavio radove.
Istraživanja Čebiševa u teoriji brojeva, analizi, teoriji verovatnoće i u teoriji mehanizma odigrala su veliku ulogu u razvitku savremene matematike. Sačuvala su životno značenje i danas i prikazuju ga kao blistavog predstavnika jedinstva teorije i prakse u matematici, čije ideje još nisu potpuno iskorišćene.

"Idite, Idite napred. Oni koji veruju prići će k vama kasnije"

D'ALAMBER ŽAN LE RON (Jean Le Rond D'Alembert )

Francuski matematičar, fizičar i filozof (1717– 1783).Vanbračno dete Gospođe de Tansen (Tencin) i artiljerijskog narednika Detuša (Destouches). D'Alambera je odgajila žena nekog siromašnog staklara, koju je on do kraja života smatrao majkom i starao se o njoj, mada ga je Gospođa de Tansen, kada je postao slavan, dobrovoljno priznala za sina. U dvanaestoj godini stupio je na koledž, začudivši svoje profesore posebnim darom za matematiku, filozofiju i stare jezike. Godine 1735. piše komentar poslanice svetog Pavla Rimljanima koji je oduševio janseniste ali odbija da studira teologiju i posvećuje se pravima. Advokat postaje 1738, pokušava da studira medicinu, ali ubrzo otkriva svoje prave sklonosti ka matematici i već 1739. upućuje Akademiji nauke primedbe na Dokazanu analizu Renoa (Ch. Reyneau), a sledeće godine raspravu o lomu čvrstih tela. Zbog izuzetnog talenta za matematiku, za člana Akademije nauka izabran je u svojoj 23. godini, u sekciji za astronomiju. Svoja glavna proučavanja posvetio je mehanici. Njegova Rasprava o dinamici (1743) zasniva se na teoremi poznatoj pod nazivom “D’Alamberovi principi” gde se dinamika svodi na statiku: “Ako se posmatra sistem materijalnih tačaka međusobno povezanih tako da njihove mase dobiju određeno ubrzanje različito od njihovog slobodno udruženog kretanja, ukupno kretanje ostvareno ili izgubljeno u sistemu ostaje jednako.U delu Istraživanja precesije ekvninocija (1749) daje prvo uopšteno rešenje koje dovodi do definicije rotacionog kretanja tela bilo kog oblika kao i raznovrsne naučne rasprave. Opšte jednačine kretanja fluida ustanovio je 1752., a njegova istraživanja iz mehanike, akustike i astronomije dovešće do usavršavanja analitičkog aparata. Pokazao je da telo C kompleksnih brojeva zadovoljava sve potrebe analize i daje prvi dokaz osnovne teoreme algebre (1746). Prvi koristi Tejlorovo (Taylor) razvijanje u redove sa eksplicitnim ostatkom u vidu integrala (1754), nalazi opšte rešenje jedne parcijalne diferencijalne jednačine (Istraživanje treperećih žica, 1747) i daje metodu rešavanja sistema diferencijalnih jednačina. U posebnom slučaju koristio je 1768. kriterijum konvergencije redova koji nose njegovo ime.Kao filozof, bio je skeptik koji sumnja u vrednost skepticizma i misli “da nema nauke koja nema svoju metafiziku” a u metafizici “ne ne izgleda pametnije od jednog da”. Tragajući za zasnivanjem, kako morala tako i logike jednostavnih načela, on ostavlja mesto za intuiciju u matematici i veruje“da je sve ono što mi vidimo samo pojava koja postoji jedino u okviru onoga što mi zamišljamo”. Neki misle da se hrabrije zalagao za istinu u svojoj prepisci nego u svojim zvaničnim tekstovima. Ipak njegovo pismo Katarini Velikoj predstavlja apologiju hrišćanstva, on žali Lukrecijev (94.-54. pre n. e) ateizam u njegovom predgovoru Eklogama(1779). Volter ga je nazivao Protagorom. Njegovo preziranje dogmatizma bilo je odmereno, a njegova najznačajnija uloga bila je u širenju novih ideja koje je nenametljivo izlagao, što će doći posebno do izražaja u njegovom radu na Enciklopediji.Osnovna načela svoje filozofije D’Alamber je izložio kao jedan od glavnih saradnika i pokretača Enciklopedije u Uvodnoj raspravi (1751) gde je inspirišući se Bekonom, dao klasifikaciju nauka prema istorijskom nastanku i izgledima u budućnosti, sa pozicija prosvetiteljstva. Kao enciklopedista bio je više no redaktor i pisac novih tekstova i uvodnih rasprava: borio se protiv objavljivanja sličnih, konkurentskih izdanja, protiv nepovoljnih kritika suviše borbenih protivničkih filozofskih duhova. Njegov polet se smanjivao u raznim svađama kao što su bili protesti jezuita i pariskog biskupa, lični napadi, skandal sa odrednicom Ženeva i polemika sa Rusoom, intelektualno i policijsko proganjanje zbog odobravanja Helvecijusovog (Helvus) teksta (1758), itd.-sve to uticalo je da odustane od ovog posla i raskine sa Didroom, ali ne i sa enciklopedistima. Otada se okrenuo proučavanju umetnosti i književnosti.Član Francuske akademije postao je 1754, a njen sekretar 1772, kad je napisao biografije onih članova akademije koji su umrli između 1700-1770. Svoje filozofske tekstove sabrao je pod naslovom Mešavina filozofije, istorije i književnosti.D Alamber je tipičan predstavnik svog “filozofskog veka”, prosvetitelj i naučnik, filozof i veoma raznovrstan duh čije je ime podjednako poznato, kako u matematici tako i u filozofiji.

DEDEKIND RIHARD ( Richard Dedekind )
Nemački matematičar ( 1831 - 1916 ), jedan od glavnih osnivača moderne algebre. Stekav{i solidno matematičko obrazovanje na Tehničkoj visokoj školi u Braunšvajgu (Carolo-Wilhelmina. osnovana 1745.), primljen je 1850. na univerzitet u Getingenu gde su mu učitelji [tern (Moritz Abraham Stern , 1807-1894), teoretičar brojeva, zatim Gaus i fizičar Veber (Wilhelm Eduard Weber, 1804-1891). Dedekind će se docnije žaliti da je svoju matematičku kulturu u Getingenu nedovoljno koristio u praktičnom smislu što ga je obavezivalo da se sam uputi u teoriju eliptičkih funkcija, modernu geometriju, višu algebru i matematičku fiziku. Svoju doktorsku disertaciju o Ojlerovim integralima branio je 1852. pred Gausom, a 1854. imenovan je za docenta univerziteta. Četiri godine obavlja sporedne funkcije: od 1855. do 1857. prati predavanja Dirihlea ( Gustav Lejeune-Dirichlet, 1805-1859) koji je nasledio Gausa 1855. Kasnije objavljuje Raspravu o teoriji brojeva svog učitelja u čijem XI dodatku (1871) izlaže ideje o algebarskim brojevima. Imenovan 1857. za profesora Politehnikuma u Cirihu. Dedekind postaje 1862. profesor Tehničke visoke škole u Braunšvajgu, gde ostaje do smrti.

Inspirisan petom knjigom Euklidovih Elemenata objavljuje 1872. kratku brošuru Neprekidnost i iracionalni brojevi u kojoj najpre definiše preseke na skupu Q racionalnih brojeva. Presek je podela skupa Q na dva disjunktna podskupa, svaki broj drugog podskupa je veći od svakog broja prvog podskupa. Svaki element od Q definiše jedan presek, tj. dva podskupa od kojih je s jedne strane onaj od brojeva najviše jednak elementu, a s druge strane onaj od brojeva koji su veći od elementa. Reciprono nije istinito. Izvesni preseci nisu definisani elementom iz Q. Dedekind takve preseke naziva iracionalnim brojevima. On pokazuje kako se može računati s takvim celinama, brišući na taj način antinomiju između aritmetike i geometrije. U drugoj brošuri Šta su i šta treba da budu brojevi? (1888), čije koncepcije potiču iz 1872-1878. svodi pojam celog prirodnog broja na pojam konačnog skupa. Za njega je skup konačan ako ne može biti injektovan ni u jedan sopstveni deo.

Vezan prijateljstvom za Kantora posredstvom značajne naučne korespondencije, pomaže mu da konstruiše teoriju skupova koju koristi u klasičnoj matematici. Tako u proučavanju algebarskih brojeva zamenjuje kod Kumerovih (Ernst Eduard Kummer, 1810-1893) idealnih brojeva pojam ideala aditivnom podgrupom prstena, stabilnom za množenje. Ovo otkriće pokazaće se plodnim u svim matematičkim oblastima. Zato sam daje dokaz 1882, primenjujući ga sa svojim učenikom Veberom ( Heinrich Weber, 1842-1913) u teoriji algebarskih krivih u ravni. Ova teorija koja se do tada javljala u geometriji i u analizi, postaje tako poglavlje čiste algebre.

Induski dokaz ili „stolica mlade“


Nad hipotenuzom pravouglog trougla konstruise se kvadrat ABDE. Iz D povuce se normala DC_1 na BC. Tako dobijemo pravougli trougao BDC_1 podudaran sa datim trouglom ABC ( imaju jednke AB=BD i ostre uglove kod B i D ulovi sa normalnim kracima).
Trougao ABC zarotirajmo za 90^o u A suprotnom smjeru rotacije kazaljke na satu oko tacke. doci ce u polozaj AEA_1.
TrougaoBDC_1 zarotirajmo za 90^o u suprotnom smjeru rotacije AD kazaljke na satu oko tacke . doci ce u polozaj EDC_3. Tacke A:1, E, C_3 su kolinearne. Produzavanjem katete BC do C_2 na A_1E dobijamo kvadrat ACC_2A_1 nad AC i kvadrat C_1C_2C_3D nad katetom DC_3=BC. Sad imamojednakost za povrsine:
ABDE=ACC_1DC_3A_1=ACC_2A_1+C_1C_2C_3D
Tj zbir kvadrata nad katetama jednak je kvadratu nad hipotenuzom

1769 godine njemacki matematicat iznio je sljedeci dokaz





1906 godine Epstajn (Epstein) je dao sljedeci dokaz.
Kvadrate nad katetama i hipotenuzom podijelicemo
na trougove 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, i 8 kao na slici.

Rhindov papirus







Mnozenje

Vratimo se na mnozenje
13*11=
13 prikazujemo kao potencije od 2.
1*11=11
2*11=22
4*11=44
8*11=88
Izmedju brojeva izaberemo one koji daju zbir 13.
U nasem slucaju to je 1+4+8=13
Svaki od tih brojeva pomnozimo sa 11 i dobijamo
11+44+88=143

RAZLOMCI
Razlomci se svode na razLomke ciji brojnik je 1.

Arapski matematicar Omar al-Hajami kaze:

Ko god misli da algebra podrazumjeva vjestinu u radu sa nepoznatim velicinama, u zabludi je. Ne treba obracati paznju na cinjenicu da su algebra i geometrija razlicite u svojoj pojavi.

Ovo su pravci razmisljanja na koje je grcka misao odvela arapske matematicare.

Arapska dostignuca u geometrijskoj algebri, prije svega kod al-Horezmija i al-Hajama.

JEDNACINE II STEPENA

TRAKTAT AL-HOREZMIJA.

Pun naziv al-Horezmijevog algebarskog traktata je Al-LJitab al-Muhtasar fi Hisab al-Jabr nj’al-Muljabalah.

Ovaj traktakt se sastoji od tri dijela:

1. algebarskog dijela (sa malom glavom o prostom trojnom pravilu),
2.geometrijskog dijela o mjerenjima
3.opsirne knjige o zaveštanjima .

Najvazniji latinski prevodi ovog djela su seviljski prevod Roberta iz Cestera (1145) i toledski prevod Gerarda iz Kremone (1114-1187).

Terminologija al-Horezmija

On kaze da ljudi u aritmetici rade sa prostim brojevima - dirhem (od grc.novcana jedinica).

U algebri se razmatraju tri vrste brojeva:

dirhem, jizr (xizr = korijen) ili shay (šaj = stvar) i mal (novcana suma, imovina).

Prema al-Horezmijevom tumacenju, xizr bi bio nepoznata ili korijen, a mal kvadrat.

Al-Horezmijevo izlaganje je deskriptivno. On ukazuje na postojanje brojnih kvadratnih iracionalnosti i naziva ih jizr asam ( nijemi ili gluvi korijen)
Smatra se da je to prevod grčke rijeci

(ona je neizraziv pojam u smislu da ne postoji odnos izmedju rijeci i pojma tj ne odnosi se na nista)

Gerardo iz Kremone preveo je asam sa surdus (gluv) i ta riječ sacuvala se do XVIII vijeka paralelno sa rečju irrationalis.

Negativni koeficijenti su izbjegavani, što je i dovelo do toga da al-Horezmi klasifikuje sest osnovnih tipova kvadratnih jednacina umjesto jednog. Nazivamo ga kanonskim
(ona je neizraziv pojam u smislu da ne postoji odnos izmedju rijeci i pojma tj ne odnosi se na nista)

Gerardo iz Kremone preveo je asam sa surdus (gluv) i ta riječ sacuvala se do XVIII vijeka paralelno sa rečju irrationalis.

Negativni koeficijenti su izbjegavani, što je i dovelo do toga da al-Horezmi klasifikuje sest osnovnih tipova kvadratnih jednacina umjesto jednog. Nazivamo ga kanonskim

x^2+bx+c=0

Postoji dosljednost u izjednacavanju koeficijenta uz kvadrat sa jedinicom. Iracionalne velicine al-Horezmi veoma rijetko koristi; one se javljaju samo u nekoliko jednacina tipa

x^2=q

kod jedne potpune kvadratne jednacine

10x=(10-x)^2
x^2-100=30x


Podjela kvadrtnih jednacina po al-Horezmiju

1. ax^2=bx [ kvadrati su jednaki korenima (mal = xizr)]
2. ax^2=bx [ kvadrati su jednaki broju (mal = dirhem)]
3. ax^2=c [korjeni su jednaki broju (xizr = dirhem)]
4. ax^2+bx=c [kvadrati i koreni su jednaki broju (mal + xizr = dirhem)]
5. ax^2+c=bx [ kvadrati i brojevi su jednaki korjenu (mal + dirhem = xizr)],
6. bx+c=ax^2 [korjeni i brojevi su jednaki kvadratu (xizr + dirhem = mal)].

Za rjesavanje bilo koje drugacije jednacine potrebno je da ona bude svedena na neki od navedenih tipova.
U slucaju da se pojave umanjioci, njih eliminisemo operacijom al-xabr, tj. dopunjavanjem. To podrazumjeva da se objema stranama jednakosti dodaju clanovi jednaki umanjiocima (bilo da su oni tipa dirhem, xizr ili mal). Sve istovrsne clanove zatim svodimo na jedan jedini operacijom al-mukabala, tj. sravnjivanjem.
Primjetna je tendencija da se vodeci koeficijenat kvadratne jednacine svede na jedinicu zato što su pravila resavanja jednacina tipa 4-6. formulisana za takav slučaj.

Navedene operacije nasle su mjesto u nazivu traktata.

Primjer

x^2+(10-x)^2=58
2x^2+100-20x=58
Svodi je na jednacinu
2x^2+100=58+20x (al-xabr)
A zatim na jednacinu petog tipa
x^2+21=10x ( al-mukabala).

Zapadni Arapi iz Spaniji, glas xim nisu izgovarali x, vec kao g, a time I riječ al-xabr kao al-gabr.

U ovom obliku rijec algebra usla je u sve evropske jezike. Njeno znacenje bilo je dopunjavanje.

[size=extended]Al-Horezmi jednacinu ax²=bx smatra linearnom. Rjesenje x=0 ne uzima u obzir, jer nije interesantno u primjenama.[/size]

U jednacini ax²=c nepoznata se ne javlja samo kao korijen, vec i kao kvadrat, pa al-Horezmi naglasava koje je njeno resenje po korijenu, a koje po kvadratu.

Za jednacinu x^2=5x on navodi korijen je x=5 i kvadrat x²=25, jer je
x=5=> x^2=25

Zadatak 2

Posmatracemo jednacinu petog tipa
x²+q=px

Al-Horezmi je znao da ovakve jednacine mogu imati:
1. dva pozitivna korjena
2. jedan dvostruki)
3. nijedan oba imaginarna.

Rijesimo jednacinu

x^2+21=10x

Uputstvo:
Ako prepolovimo korjen imacemo 5.
Pomnozimo li ga samimi sobom dobijamo 5*5=25.
Od toga oduzmemo 21, 25-21=4
Izvadimo iz toga korijen dobijamo 2.

Oduzmemo od polovine korjena 5-2=3. Dobili smo korjen kvadrata koji trazimo. Kvadrat je 9.
Mozes dopuniti polovinom korjena bice 7 I toje korjen kvadrata koji trazimo. Kvadrat je 49.

Treba znati:

kad god prepolovljavimo korijene i mnozimo samima sobom, ako je proizvod manji od dirhema dodatog kvadratu, zadatak je nemoguc, a ako je jednak dirhemu, korjen kvadrata jednak je polovini korjena bez dodavanja i oduzimanja...

Geometrijski dokaz razdvaja pravilo za peti tip na dva slucaja, tj. na korjene:

Za drugi slucaj u oksfordskom arapskom rukopisu receno je samo to da se korijen dobija ako duzi DH dodamo JH. Moguce je da je al-Horezmi znao da konstruise rjesenje tog slucaja, ali je problem nastao kod prepisivaca i prevodilaca. Vratimo se prvom korijenu:

Pravougaonik GCDE ima ivice GC = p i CD = x , a cine ga kvadrat ABCD = x^2 i njemu dodati pravougaonik GBAE = (p-x)x=q[x

U tacka F koja je sredina duzi GC konstruisemo vertikalu FH, koju produzimo za AH=HK=(p/2)-x.
Dopunimo kvadrate GFKM=(p/2)^2 I JHLM=[(p/2)-x]^2.
Po konstrukciji pravougaonici EJLM i FBAH su jednaki, pa je kvadeat JHKL jednak razlici kvadrata GFKM i zbira pravougaonika GFKM i EJLM: